概率论与数理统计教学方法探讨

2012-08-05牛银菊

东莞理工学院学报 2012年3期

牛银菊

(东莞理工学院计算机学院，广东东莞 523808)

概率论与数理统计是研究随机现象的数量关系与数量规律性的一门学科，是高等院校理、工科及管理学等专业必修的一门重要的基础课程［1］。随着我国市场经济的逐步完善，概率论与数理统计在工农业生产和科学研究中的应用越来越广泛，特别在经济学、质量控制、精算数学等方面发挥着重要的作用，凡是有数据需要处理的地方，都离不开概率统计。因此，该课程越来越受到人们的重视，同时也是全国硕士研究生入学数学考试的内容之一。本文针对部分学生数学基础较差的现状，结合概率论与数理统计课程的特点和初学者遇到的实际问题，从概念引入、案例教学、规律总结等三个方面进行了探索，并取得了良好的教学效果。

1 课程特点

概率论与数理统计是一门高度抽象的学科，有它独特的概念和方法。主要特点是:概念和公式繁多，章节的关系松散，应用题比较抽象［1］。对初学者来说，其感觉是:基本概念既多又抽象、难懂;公式多且杂、易混淆;内容抽象复杂、难以理解;知识点太多、遇到实际问题时，思路不清，无从下手;处理问题的方法与其他数学课程有很大的差异，因而不易掌握［2］。

2 学生现状

学生们在学习概率论与数理统计课程时，通常对古典概率部分兴趣较浓，学习尚不觉困难，但从随机变量内容起，就感到相当难，这是因为他们的基础课知识 (特别是高等数学知识与概率计算知识的结合环节)薄弱，如概率论中用到的分段函数、非初等函数的图象、变线积分等内容，均不是高等数学中的重点内容。从我教的管理学院的学生来看，数学基础比理工科学生更差，且多数学生学习目的不明确，没有养成课前预习、课后复习的习惯，对所学的知识点不及时梳理，时间长了，连基本的简单积分计算都忘记了，所以学起来困难更大。

3 方法探讨

根据概率论与数理统计课程的特点和学生的现状，从概念引入、案例教学、规律总结等方面对该课程的教学方法进行了探讨。下面对其具体的授课方式作一简要介绍，以期与同仁商榷。

3.1 概念引入

首先，在概念教学中，要使学生明确为什么要引入这个概念以及这个概念是用来解决什么问题的。只有让学生明确了这个概念引入的目的，才能调动学生的学习积极性，从而积极地溶入整个教学过程中，使教与学达到有机的统一。例如，我在第一节课介绍概率论与数理统计这门课程时，先将手中拿的书掉在地上，结果是正面朝上。这时，我问学生:“如果我再将手中的书掉在地上，你们猜想，结果是正面朝上还是反面朝上。”学生回答:“可能是正面朝上，也可能是反面朝上。”我又问:“其结果是肯定的，还是随机的。”学生回答:“结果是随机的。”我又提出一些问题:“如果你们现在出去乘公交车，等多长时间确定不确定，或者去邮局寄邮件等多长时间确定不确定，等等。”事实上，这样的不确定事件在我们身边随处可见，要把这样的事情搞清楚，就必须学习研究这些随机现象的学科，即概率论与数理统计。再如，为了让学生理解概率论与数理统计所研究的问题与其它学科的不同，我提出这样的问题:“在一大气压下，把水加热到100摄氏度，有什么现象发生。”学生回答:“水会沸腾。”我又问:“这个结果肯定吗?”学生回答:“其结果是肯定的。”接着强调我们学过的定理，只要条件成立，其结果是肯定的，像以前学过的高等数学、线性代数等课程就是研究这些必然现象的学科。

其次，根据概念产生的不同背景，应选定最佳的引入路径，让学生尽快触及概念的本质，而不应为了追求形式上的新颖，淡化概念产生的背景，把简单的问题复杂化。例如，在引入随机变量的概念时，我是这样引入的:前面，我们都是用一个字母来表示随机事件，但是，如果考虑一些更加复杂的情况，用字母表示随机事件就不太方便;若想用更多的数学知识解决所研究的问题，就必须尽可能的将我们要考虑的问题数量化。在后面的讨论中，不是把每一个事件用不同的字母来代替，而是要把它数量化，即用变量的取值来代表随机事件，它的不同的取值就表示不同的随机事件，我们就称这个变量为随机变量。

3.2 案例教学

《数理统计》的内容之一假设检验所解决的问题非常广泛，涉及的概念、公式较多，解决问题的方法也比较独特，如果老师不讲清它的基本原理，直接将解题过程写出来，学生就会觉得比较混乱，不理解，遇到实际问题时就会无从下手。

首先，让学生明白，假设检验是基于反正法的思想和小概率原理 (或实际推断原理)，按照反正法的思想先要提出待检验的假设，这一点学生很容易接受 (多数情况题目直接给出)。其次，寻找矛盾，这一点和以前学过的反正法得到的矛盾不同，它是利用小概率原理得到的，即小概率事件在一次试验中几乎不会发生，根据这一点，决定拒绝还是接受假设，以此来判断是否得到矛盾，从而对题目中的问题作出合理的判断，并得出自己认为的结论。这就需要构造判断矛盾的小概率事件，其途径是借助分布已知的统计量，得出小概率事件发生的条件或拒绝域。需要给学生强调的是统计量的确定，依据假设中的参数，即这个统计量只能含有假设中的参数，其它都要成为已知的或者通过样本可以计算出来的。以此为基础，老师讲解引例学生很容易接受，并能按所学的套路解决现实生活中的各种问题，为学生更加深刻的理解数理统计知识的现实意义打下坚实的理论基础，下面举例说明。

例:要求某种灯泡的使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种灯泡中随机抽取36个，测得寿命的平均值为980小时，已知该种灯泡寿命服从标准差为100小时的正态分布，判断这批灯泡是否合格?(取显著性水平α=0.05)

解:(1)设总体均值为μ，检验假设为

以上处理方法得到了学生的认可，调动了他们学习的主动性和积极性，提高了综合分析和解决实际问题的能力，对假设检验的领会更加深刻。但在实际问题的解决中，有部分学生觉得单边检验的拒绝域接受起来仍然比较麻烦。为了让他们在理解的基础上掌握并记住单边检验拒绝域的公式，为灵活运用这部分知识解决实际问题奠定基础。再以“H0:μ≤μ0的拒绝域的推导”为例，说明求解单边检验拒绝域的过程。

3.3 规律总结

大家都知道，学习知识的目的是为了解决我们身边遇到的各种各样的问题。解决问题的方法虽然多种多样，但我们希望找到最简捷、最易接受的方法，这就需要老师总结规律，使学生有章可循。如，在随机向量一章中，求联合密度函数、边缘密度函数及随机事件的概率等问题，其关键是求积分，而学生感到难的主要问题是确定有效积分区域和积分线，老师只要将这两个问题讲清楚，剩下的就是学生熟悉的《高等数学》中最简单的积分问题。下面以有效积分区域、积分上下线的确定为例予以说明。

定义有效积分区域，就是概率密度函数非零表达式的区域。然后，规定找积分线的方法:若看作是x型的，就在有效积分区域内画一条平行于y轴且与y轴同向的有向线，根据先交的是下线，后交的是上线就可以确定积分的上、下线。具体来说，下线就是从函数关系式中求出y等于多少，同样上线也是从另一个函数表达式中求出y等于多少。若看作是y型的，就在有效积分区域内画一条平行于x轴且与x轴同向的有向线，根据先交的是下线，后交的是上线就可以确定积分的上、下线。具体来说，下线就是从函数关系式中求出x等于多少，同样上线也是从另一个函数表达式中求出x等于多少。

定义随机事件概率的有效积分区域，就是联合概率密度函数的非零表达式的区域与随机事件区域的交集部分或公共部分。然后，利用口诀“后积先进线”确定积分时到底先积谁。具体来说，就是先写x的线，就后积x，先写y的线，就后积y。尽管学生刚接触到这一章内容时感到非常难，如果老师能从学生的问题出发，找到要解决的问题与同学们熟悉的知识之间的联系，归纳、总结出具体的办法，同学们就可以灵活运用所学知识解决实际问题了。

再如，在讲解区间估计时，首先让学生明确要构造一个区间，使得要估计的参数落在这个区间的可能性比较大。用概率论与数理统计的知识，就是要构造参数落在一个区间的概率比较大，其值可表示为1－α(0＜α＜1)，α通常比较小。这样做，可以让学生抓住概念的实质，解决实际问题时就会思路清晰、目的明确。