H-ARQ信道上高性能全分集LDPC码的构造与性能分析

郭锐，胡方宁，刘济林

（1. 杭州电子科技大学 通信工程学院，浙江 杭州 310018；2. 浙江大学 信息与电子工程系，浙江 杭州 310027）

1 引言

ARQ技术是一种简单有效应对无线信道时变特性，降低系统错误概率的技术。当接收端不能正确译码时，ARQ技术要求发送端重传。H-ARQ技术结合了ARQ和FEC，在接收端组合第1次传输（Tx1）与重传信息（ReTx），从而获得更高的可靠性[1]。可以重传一次，也可以重传多次。如果信道相干时间很短，重传与原始传输经历相互独立的信道衰落，从而获得分集增益。

近年来，针对全分集LDPC码的研究越来越多[2～5]。文献[6,7]提出了采用root LDPC码的方法，解决在块衰落数目为2的信道上，应用BP迭代译码时的全分集问题，但其仅仅分析了块衰落信道数目为 2的简单情况；文献[8]研究了基于 CPC的LDPC码在 H-ARQ信道上的性能，但不能获得全分集；文献[9]研究了 H-ARQ信道上一次重传的LDPC码全分集问题，但对多次重传没有涉及，而且，构造的码字编码增益较低；文献[10]研究了ARQ块衰落信道上基于校验分裂的全分集 LDPC码性能，但其在重传过程中，只是采用了重复编码的方式，并未提高编码增益。

本文提出了一种在任意次重传的H-ARQ块衰落信道上能取得全分集的高性能LDPC码。首先，研究了H-ARQ信道中断概率以及固有分集；然后，构造了全分集LDPC码，分析了所构造码字取得全分集的原理；最后，研究了全分集LDPC码字的结构，提出了通过校验比特分割，提高全分集校验比特比例，改善全分集LDPC码在H-ARQ信道上编码增益的方法。

2 H-ARQ信道的固有分集

H-ARQ主要分为2类：第1类H-ARQ和第2类H-ARQ。第2类H-ARQ对出错的数据帧只是简单的丢弃，没有充分利用其中的有用信息；第2类H-ARQ对接收的数据帧进行合并，从而提高了纠错性能。其中广泛使用的增加冗余 H-ARQ（IR-HARQ）即第 2类H-ARQ，它在重传时增加冗余，提高了纠错性能，但其重传信息与第1次传输的信息完全一样。为了提高H-ARQ通信速率，H-ARQ在重传时可以增加额外的信息比特。本文主要研究第2类H-ARQ信道。

假设长度为K的信息比特ui，编码成二进制LDPC码，编码后码字为c1,i，长度为N1，码率为Rc1=K/N1。如接收端不能正确译码接收到的信息比特ui，需要发送端重传。假设重传的信息为ui′，长度为K′，ui′可以与ui完全一样（K′=K），即简单 IR-H-ARQ ，也可以在重传时包含新的信息（K′＞K）。编码后码字为c2,i，其长度N2。上述2种情况如图1所示。

把2次传输看出一个完整的传输过程，码字长度N=N1+N2，码率Rc=K′ /N。

图1 H-ARQ编码示意（当1,ic不能被正确译码时，发送端重传2,ic）

如果信道的相干时间很短，将H-ARQ信道近似为独立的块衰落信道，假设第1次传输时其衰落系数为α1，当接收端不能正确译码时，发送端重传。重传时，信道的衰落系数为α2。α1,α2服从相互独立的瑞利分布。则传输过程的瞬时信噪比表示为γ1= |α1|2γ和γ2= |α2|2γ，其中，γ=Es/N0是每符号平均信噪比。

一个信道的固有分集d定义为

其中，eP为中断概率。中断事件0E表示瞬时互信息小于传输速率，通常由一个特殊的区域决定，其横纵坐标分别对应于瞬时信噪比。

I1(γ1) 是第 1次传输时的瞬时互信息。当I1(γ1)＜Rc1时，需要重传。由于在块衰落信道上取得全分集的充分必要条件是在块删除信道上能取得全集[2]。在高信噪比情况下，块删除信道可以看成是块衰落信道的一种特殊情况。

当采用BPSK调制时，ARQ块衰落信道可以看成是N个并行信道的，每个信道携带1bit信息。因此，归一化的联合互信息表示为[12,13]

中断概率通过对概率分布函数在中断事件包含的区域里积分得到：其中，α10为中断边界线与横轴α1的交点，α20为中断边界与纵轴α2的交点。于是，中断概率分布为

由于α1，α2服从相互独立的瑞利衰落分布，因此：p(α1,α2) = 4α1α2e-α12-α22，则有

采用泰勒展开得到：

当传输次数cn大于2时（重传次数大于1次），其中断事件表示如下：

Iγ为第 1次传输时的瞬时互信息，为cn次传输的互信息。同理有

采用与一次重传相同的方法，定义10α为中断边界线与横轴1α的交点，20α为中断边界与纵轴2α的交点，…，c0nα为中断边界与cnα的交点。则有

3 H-ARQ信道上全分集LDPC码的构造

由上节分析可知，若每次传输经历的衰落系数相互独立，则信道的固有分集数等于传输次数。本节构造在H-ARQ信道上能取得全分集的码字（即码字的分集阶数等于信道的固有分集）。H-ARQ信道可用如下公式来描述：

其中，ix，iy，iz分别为第i次传输时的发送信号，接收信号以及噪声。假设H-ARQ信道传输次数为2（c2n=），每次传输经历的衰落系数分别记为1α和2α。信息比特1i第1次传输，其经历衰落为1α，信息比特2i第2次传输，其经历衰落系数为2α，奇偶校验比特也分成2部分1p和2p。图2给出了构造的全分集LDPC码Tanner图及校验矩阵，称为根校验全分集LDPC码。图中I为单位矩阵，其余子矩阵随机生成。其中，1C、2C为根校验节点，1C通过度数为1的根连接与第1次传输的信息比特1i相连，而与第2次传输的信息比特2i、奇偶校验比特2p则以任意度数连接，其度数由2iH、2pH的列重决定；2C遵循同样的规则。连线上的数字表示连接的度数。

图2 根校验全分集LDPC码的Tanner图及其校验矩阵（nc=2）

可以看到根校验节点把不同传输信道联系起来，从而获得额外的分集。

证明如下：考察度数为δ的根校验节点Φ，Λα,i=1,… ,δ-1为与之相连的信息比特节点传递

i给校验节点的对数似然比(LLR)，则迭代译码输出的LLR如下[11]：

th(x)表示双曲正切函数，α为先验消息，e为迭代译码时传递的外部消息。由于最小和译码算法是次优的迭代译码算法，如果次优译码算法能取得全分集，则最优译码算法也能取得全分集。因此，为了简化分析的复杂度，采用最小和译码算法来简化分析，于是上式简化为

如果发送端发送全0码字，则jα传输的交叉概率信息即由jα传给下一次传输的信息(1,2)j=：

任一信息比特在信道α传输的先验信息为[13]

其中，y=α+z，z～N( 0,σ2) 。在第1次迭代时，式(12)中的Λαi都具有式(14)形式。考察1i中度数为

ξ信息比特θ，除了具有先验消息外，还要接收来自校验节点的外部消息：Λej，j= 1 ,2,… ,ξ。对于nc=2的H-ARQ信道而言，ξ≥2。θ分别与1C, 2C连接。因此，θ的后验信息为

指1C中与θ相连的根校验节点传递的外部信息。Pe( 1i1)表示 1i1中的错误概率，它主要由Λ中的前2项并不能影响e1(1)Pi，这是因为与非根校验节点概率密度的卷积仅仅能够更新最后的密度。因此，对于考察分集阶数而言，只需证明能导致全分集。其中，由式(12)计算得到。输入到根校验节点1C的消息以2ψ的概率取负。于是：

则后验消息的前2项：

当传输次数nc大于2，采用类似的方法。信息比特记为1i，2i，…，nci，1i在α1上传输，2i在α2上传输，…，nci在αnc上传输。奇偶校验比特也分成nc部分，采用上述类似的方法可以证明：

即式(18)服从自由度为c2n的2χ分布。根据分集的定义，可知道其分集阶数为cn，获得了全分集。

普通块衰落信道的每个子信道是完全对称的，每个子信道都要求能获得校验。与普通块衰落信道而言，H-ARQ信道只需要通过重传恢复出上次传输的信息。于是对c2n= 的 H-ARQ信道，Tanner图以及校验矩阵可以简化为如图3所示形式：

图3 针对H-ARQ信道的根校验全分集LDPC码的Tanner图及其校验矩阵（nc=2）

当c3n= ，相应的编码矩阵如下：

4 高编码增益全分集LDPC码的构造

为了分析全分集LDPC码的编码增益，先定义以下变量：比特节点平均度数； 校验节点平均度数；归一化的行度数分布；归一化的列度数：。则有db表示比特节点度数最大值，dc表示校验节点度数最大值；λi是度数为i的比特节点数目占总比特节点数目的比例，ρj是度数为j的校验节点数目占总校验节点数目的比例。

如果˜(x)表示从每个节点删除一条边，新的度数分布。 -1表示新的平均度数，(x)/x表示新的归一化度数系数，则有

以传输次数c2n= 为例，如图4所示，假设与根校验节点 1C相连的边的集合为ES（除去根连接），其中， |S1i|为2i与1C相连的边的数量， |S1p|为2p与 1C相连的边的数量。定义fe为SE中S1i所占的比例，ge为SE中S1p所占的比例，则有

图4 H-ARQ信道上根校验全分集LDPC码Tanner图以及消息传递（nc=2）

可见，全分集LDPC Tanner图包含4种类型的变量(1i,1p,2i,2p)，2种根校验节点（1C，2C）和5条不同的边。用变量x1，x2，…，x5分别表示在以下边上迭代的消息：1i→ 1 C，1i→ 2 C，2i→ 1 C，1p→ 2 C，2p→ 1 C，q1，f1，f2，g1，g2分别为对应节点之间传递的对数似然比（LLR）。

由式(17)可知，在nc= 2 的H-ARQ信道上，第l次迭代的LLR表示为

即Λl正比于，其中，ξ为从2i→1C的能量系数，ζ为1i→2C的能量系数，α1、α2衰落系数。

假设2i中的信息比特θ在传输过程中发生错误，2i与δ个校验节点相连，δ中有ξ个来自1C的校验节点被用来纠正θ，ξ被称为能量系数,显然ξ越大，纠错能力越强。如1C中与信息比特θ相连的校验节点Φ用来纠正θ，则与Φ相连的其他节点已知。如图5所示，这些节点来自2i或2p，即2p中的一些奇偶校验比特在若干次迭代后未被删除（全分集奇偶校验比特）。能量系数和这些未被删除的全分集奇偶校验比特有关，假设第m次迭代时全分集奇偶校验比特所占比例为pm。

图5 信息比特2i局部Tanner图

图6 奇偶校验比特2p局部Tanner图

奇偶校验比特2p的局部Tanner图如图6所示，1C的叶子节点随机来自2i和2p，其概率分别为fe和ge。度数为j的根校验节点1C与叶子节点之间没有奇偶校验比特相连的概率为，由迭代译码过程可知

式(25)给出了全分集奇偶校验比特所占比例的迭代过程。

从2i局部Tanner图5可知，经过大量迭代后，信息比特2i全部被纠正，信息比特1i以及奇偶校验比特1p未被全删除，奇偶校验比特2p有p∞的概率被恢复，1-p∞的概率被删除。如果信息比特2i的度数为δ+2，其中，0≤δ≤db-2。因此，能量系数满足 1 ≤ξ≤db-1。考虑根校验节点1C，假设j为根校验节点1C的度，l为从奇偶校验比特2p输入的j- 2 个边中已经恢复的节点。则度数为j的校验节点1C产生α12消息的概率为

用eΓ表示1C发送给2i的消息未被删除的平均概率，通过ρ(x)平均后，有

用P∞(ξ,δ)表示度数为(δ+2)bit的节点2i，能量系数为ξ的概率质量函数，则有

经过(x)平均后，有

式(29)给出了能量系数概率取值的下限与p∞的关系。可以看到p∞越大，能量系数越大。因此可以通过控制p∞，增加全分集奇偶校验比特的比例来提高系统性能。这里采用和信息比特相同的方法，将图1中的奇偶校验比特1p分成2部分，分别称为“1pi”和“1pp”。其中，“1pp”又可以进一步分割成“1ppi”和“1ppp”。由前面的分析可知：“1pi”和“1ppi”的部分都获得了全分集。2p也可以采用同样的处理方法进行处理。如图7所示。

图7 奇偶校验比特1p分割

重复上述分割过程，使得α部分的奇偶校验比特具有二阶的根校验，如图8所示，称为二阶根校验全分集LDPC码。显然，第1次分割时，α=1/2，第 2次分割时，α= 1 /2 + 1 /4，第 3次分割时，α= 1 /2 + 1 /4 + 1 /8，因此，随着迭代分割的增加，α= 1 /2 + 1 /4 + 1 /8+…，越来越趋近于 1，称为全分集奇偶校验比特。

5 性能分析

考察了构造码字在H-ARQ信道上的WER性能。实验中，采用 BPSK调制，噪声，每次重传信道的衰落αj服从独立的瑞利分布，译码采用BP迭代译码算法，最大迭代次数50次。每次重传的码字长度一样N= 4 000，信息长度K=2 000，nc为传输次数，即重传次数为nc-1。令H1=[H1iH1p]，H2=[H2iH2p]，

图8 二阶根校验全分集LDPC校验矩阵结构

图9给出了随机构造的(3,6)LDPC码的，规则的(3,6)根校验全分集LDPC码（记root -LDPC），以及非规则的(3,6)根校验全分集LDPC在1次重传情况下的WER性能，即1H，2H满足上述结构。其中，非规则LDPC码的度数分布采用与文献[13]相同的度数分布。从图可以看出，不论是非规则root-LDPC还是规则root-LDPC都能取得全分集，非规则LDPC码性能要略优于规则(3,6)码性能。在WER为 10-4时，大概有 0.32dB的改善。非规则root-LDPC码与中断限之间的间隔为0.63dB。

图9 H-ARQ信道上不同码字性能比较（nc=2）

图10比较了H-AQR信道上不同传输次数码字的性能，仿真了传输次数分别为2，3，4的情况，实验中码率R分别为1/2，1/3，1/4，可以看到，传输次数的增加使得码字获得更多的分集增益，这是因为在译码过程中，信息节点和校验节点都从其他的块衰落信道上获得了更多的校验，从而获得更多的分集，并且从图上可以看出不论传输次数为2，3还是4，都能获得全分集。

图10 H-ARQ信道上不同传输次数码字性能分析

图11和图12分别给出了采用本文方法构造的二阶全分集LDPC码字的性能。分别仿真了二阶根校验root-LDPC码 1/2a= ，以及普通root-LDPC码字的性能。其中，图11仿真了c2n= ，图12仿真了c3n= 的情况下，采用上述方法构造的(3,6)全分集LDPC码。由图可见二阶全分集码字获得了编码增益，具有更加优异的性能。这是因为采用了二阶全分集技术，增加全分集奇偶校验比特的比例，这些奇偶校验比特在迭代译码过程中向信息节点传递信息，增加了能量系数，从而改善了码字性能。

图11 H-ARQ信道上二阶根校验全分集 LDPC性能（nc=2）

图12 H-ARQ信道上二阶根校验全分集LDPC性能（nc=3）

图 13给出了本文所提出算法与文献[9,10]算法的性能比较，实验中采用 BPSK调制，码长N= 2 000，BP译码的最大迭代译码次数50次。首先，比较了本文所提的算法在nc= 2 时的性能与文献[9]中采用CPC的H-ARQ性能，可以看到，无论是本文所提算法还是文献[9]所提算法都能取得全分集，由于基于CPC的H-ARQ在重传过程中增加了更多的冗余信息，性能优于本文构造的根校验全分集 LDPC码，但要稍逊于本文提出的二阶根校验LDPC码(a= 3 /4)，同时ARQ会导致传输延时增加。其次，比较了本文所提的算法在(nc= 4 ,R= 1 /4)情况下的性能与文献[10]中采用校验分割的码字在块衰落数目为2，重传次数为2(即R1= 1 /2L= 2 ,B= 2 )下的性能，可以看到两者都能取得全分集，分集阶数均为4。但是由于文献[10]在重传过程中，只是简单的重复编码，并没有带来编码增益，因此，本文算法的性能优于文献[10]中的码字性能。

图13 本文构造码字与文献[9,10]码字在H-ARQ信道上的性能比较

6 结束语

本文研究了 H-ARQ块衰落信道上全分集低密度奇偶校验（LDPC）码的构造与性能，然后构造了在H-ARQ块衰落信道上能取得全分集的LDPC码，新构造的码字采用根校验节点把每次传输联系起来，从而获得全分集。在此基础上，提出了通过提高全分集校验比特的比例，改善全分集LDPC码在H-ARQ信道上编码增益的方法。仿真结果表明，所提算法在H-ARQ信道上不仅能取得全分集，而且具有较高的编码增益。

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