放宽静稳定性大型客机的LQR控制律设计

王一超，江驹，王新华，甄子洋，李欣

（南京航空航天大学自动化学院，江苏南京 210016）

引言

大型客机的研发对增强我国航空工业、科技实力具有重要的意义。相比波音、空客这样的大公司，我国对于大型客机的研究尚属于初步探索阶段。从主动控制技术在航空领域应用以来，控制器的好坏对于客机性能和安全的影响越来越大［1］。为了实现客机成本的最优化，国外先进的大型客机都采用了放宽静稳定性技术［2］，同时也设计了相应的控制律以恢复和改善系统的稳定性，如空客A340采用了C*内回路控制，波音公司的 B747采用了C*-U控制［3］。

近年来，现代控制理论中的多变量最优二次型（LQR）设计方法在MIMO系统中得到广泛的应用，并在飞行控制系统中取得了成功的经验［4］。该方法可以同时闭合所有的回路，保证最优的性能指标，并在工程上易于实现。实际的客机飞控系统不可能测量出所有的状态，因此无法进行全状态反馈，工程应用中可将传感器能测出的状态作为系统的输出，采用输出反馈线性二次型算法设计相应的控制律［5］，使得系统输出跟踪相应的指令。

本文以B707客机为研究对象，将法向过载信号引入到其纵向通道中，使用输出反馈的LQR技术设计了客机的姿态回路，并给出了相应的仿真验证。

1 客机建模与配平

文献［3］公开了B707大型客机着陆进近阶段的气动导数和物理参数。在“平板大地假设”的前提下，使用 Matlab软件中的工具 S-function建立B707客机在欧美坐标系下的六自由度数学模型。客机建模的核心工作就是根据气动导数计算气动力和气动力矩，再利用相应的动力学微分方程计算状态量的微分量，作为mdlDerivatives函数的输出。由于S-function已经将各个功能模块独立封装，各个模块的接口也已经被系统所固定，所以当需要用到状态量的微分量时，可以把该微分量用global定义为全局变量，直接输出mdlDerivatives的计算值，避免反复计算。该微分量还要在mdlInitializeSizes函数中赋初值0，而且每个子函数内部在调用此变量前都要用global指明是全局变量。

非线性模型仅适用于数值计算，在设计控制器时，需要先求得客机在此阶段的平衡点，并在平衡点附近对上述模型进行小扰动线性化，得到此平衡状态的线性模型方程。假设客机的高度H=500 m，空速V=80 m/s，使用Matlab/Trim工具求得客机的一个配平点为:α=0.97°，γ= －3°，θ= －2.03°，nz=0.9994，δe= －9.84°，油门开合度δt=21%。

使用Matlab/Linmod工具对其线性化，并将纵向与横侧向解耦，得到客机纵向通道的状态空间模型为:

式中，xlon=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz］T；Alon∈R5×5；Blon∈R5×2；ulon=［Δδe，Δδt］。

2 客机增稳控制方案

放宽静稳定性客机相比于传统客机，其气动焦点与实际重心的距离减小，|Cmα|减小，系统的极点右移靠近虚轴，使得客机纵向的稳定性降低。而考虑到大型客机的安全性与舒适性，必须设计相应的增稳控制系统。在飞控系统中，将α与nz反馈到升降舵通道都能起到增稳的效果。但在工程实际中，迎角传感器成本高、精度低、故障率高，而法向过载通过加速度计可以方便地测量得出，其计算方法为:

式中，az为机体z轴方向加速度；θ为客机俯仰角；L为加速度计安装位置沿x轴方向相对于客机重心的距离。为了简化客机模型，令L=0。代入式（1），nz的物理意义即为机体z轴方向气动力和发动机推力的合力与重力分量的比值。

客机法向过载方程短周期线性方程可以近似地写为:

令 Δδe=knΔnz+ΔU，U为内回路预制指令信号，代入式（3），可得:

图1 C*构型框图

C*信号定义为nz和q的混合信号［6］:

工程上可以通过C*信号的阶跃响应来评判飞机内回路C*控制的合理性，C*响应的包线见文献［2］。

3 输出反馈线性二次跟踪器设计

LQR设计方法相比于传统的单通道经典控制方法，设计过程更加方便，能够精确地达到指定的性能指标，对多输入多输出的飞控系统，能起到更好的解耦效果，在工程中也易于实现。本文以客机进近飞行阶段为例，使用LQR方法实现第2节的增稳控制方案，同时设计出俯仰角保持与跟踪控制系统。控制器框图如图2所示，客机纵向状态空间模型见式（1）。

图2 系统控制结构框图

图2中，Δθc，ΔVc分别为俯仰角与速度的增量指令；eθ，eV分别为俯仰角与速度的跟踪误差。舵机伺服特性和发动机传递函数分别简化为:

实际系统中，不可能将所有的状态量反馈，只能选择合适的参量作为系统的输出y进行反馈［5］。因为图2的控制目的是使得跟踪误差eθ，eV→0，本文选择y=［eθ，Δnz，Δq，eV］，这样，就将输出跟踪的控制问题转化为输出调节器的问题。同时，配合状态量的增广、系统指令的前馈补偿技术，将系统的模型转换为式（7）所示的结构，这样，才方便用线性二次型调节器方法设计反馈增益K。

式中，状态量x=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz，Δδe，Δδt］T；控制输入量u=［Δue，Δut］；指令输入量r=［ΔVc，Δθc］；z=［ΔV，Δθ］。增广后的系数矩阵为:

输出反馈的控制律为:

将式（8）代入式（7），得到系统的闭环状态方程为:

假设x稳态量为，x相对于稳态量的偏差量为，可得:

为了解决原系统的跟踪问题，对偏差系统的调节器提出的性能指标必须反映原系统的设计目标，本文选取如下性能指标:

式中，S，Q，R都为非奇异正定或半正定阵；S为对被控量跟踪误差的加权阵，对应姿态回路的响应特性；R为对控制量的加权阵，对应控制能力的大小；Q为对内回路状态Δnz和Δq的加权阵，对应短周期内回路响应特性的大小，选取Q=diag［0，0，k1，0，k2，0，0］。

假设存在对应的正定对称阵P，则本系统的李雅普洛夫方程为:

选择了恰当的加权阵后，使用Simplex算法［7］，就可以求出使性能指标J最小的反馈增益阵K。具体过程如下:选取输出反馈的初始增益阵K0，初始增益K0的选择可以通过经典控制方法加以确定；再根据李雅普洛夫方程式（13）求解出P，由P阵可以求出性能指标J；使用迭代的方法改变K阵，直至J最小。

4 仿真验证与分析

以式（1）所示的客机纵向模型为对象，使用第3节所述的控制设计方法，选取加权矩阵为:V=diag［5，25］，S=diag［5，1000］，Q=diag［0，0，900，0，90，0，0］。通过经典控制根轨迹方法，设计出初始的反馈增益:

再使用Simplex算法，解得:

将设计结果在B707客机进近阶段的非线性模型中仿真验证。

4.1 内回路增稳效果验证

由K阵知，C*内回路对升降舵偏量的控制为:

仿真得到C*响应曲线如图3所示。C*响应落在了文献［2］中C*包线的I区，为最佳响应区。

图3 C*响应曲线

将式（14）中过载信号反馈去除，则C*内回路就变成了传统的阻尼器，给内回路预置阶跃指令，比较两种内回路的过载响应仿真曲线如图4所示。

图4 内回路过载响应曲线

可以看出，C*内回路过载响应幅值小于阻尼器内回路，且符合适航标准中规定的－1.0≤nz≤2.5，说明了C*内回路增加了客机的静稳定性，并且使得客机乘坐的舒适性得到了提高。

4.2 指令跟踪效果验证

客机平衡点处俯仰角θ0=－2.03°，速度V0=80 m/s。给定θ=0°，V=80 m/s的指令信号，非线性模型的仿真曲线如图5所示。可以看出，过载和俯仰角速度均在8 s内达到稳态，动态过程迅速且无振荡；速度变化很小；俯仰角响应曲线于10 s处进入稳态，仿真曲线无超调，基本无静差。

图5 给定姿态角、速度指令的非线性仿真

5 结束语

本文使用LQR方法设计了客机进近段的输出反馈跟踪器，实现了对放宽静稳定性客机的增稳控制和姿态跟踪控制。在非线性模型中的仿真结果表明，各个响应性能都达到了满意的效果。该控制方法应用于MIMO系统，具有设计过程方便，易于解耦的特点，能够达到确定的性能指标，并且在工程实际中有一定的应用价值。

［1］杨一栋.飞行综合控制［M］.南京:南京航空航天大学出版社，2007.

［2］吴森堂，费玉华.飞行控制系统［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2005.

［3］鲁道夫·布罗克豪斯.飞行控制［M］.北京:国防工业出版社，1999.

［4］胡寿松，王执铨，胡维礼.最优控制理论与系统［M］.北京:科学出版社，2005.

［5］张锋.线性二次型最优控制问题的研究［D］.天津:天津大学，2009:15-40.

［6］Saussie D，Saydy L，Akhrif O.Longitudinal flight control design with handling quality requirements［J］.The Aeronautical Journal，2006，9:627-637.

［7］Nelder J A.A simplex method for function minimization［J］.The Computer Journal，1965，7:308-313.