基于联系数的区间灰数预测模型

2012-07-25刘卫锋

统计与决策 2012年10期

刘卫锋

0 引言

灰色GM(1,1)模型是灰色系统理论的核心内容和方法之一[1，2]，目前该方法在社会经济、管理和工程技术等领域得到了广泛的应用。但是，灰色GM(1,1)模型有时会出现预测误差较大的情形，对此，许多学者从背景值构造[3-5]，初值条件优化[6-7]，模型参数估计[8-10]方面对GM(1,1)模型进行改进，取得了丰硕的成果。但是，这些研究和改进实际上仍然苑囿于对白数（实数）序列进行建模，因而建立的灰色GM(1,1)模型并非真正意义上的灰色预测模型。对此，有文献对区间灰数序列的建模进行了研究，并取得了初步的研究成果，其中，文献[11]通过计算灰数层的面积以及灰数层中位线中点的坐标,将区间灰数序列转换成实数序列,建立一种区间灰数预测模型；文献[12]构建了白化权函数已知情况下的区间灰数预测模型；文献[13]在区间灰数的核和灰度的基础上，提出了基于核和灰度的区间灰数预测模型；文献[14]通过将区间灰数序列转化成相应的发展趋势序列和认知程度,提出了基于发展趋势和认知程度的区间灰数预测模型；文献[15]根据区间灰数的几何特征，通过面积转化和坐标转换，将区间灰数序列转换成实数序列，从而建立了区间灰数预测模型。

在上述研究文献的基础上，受文献[16]启发，本文尝试将集对理论中二元联系数引入到区间灰数预测中，建立基于二元联系数的区间灰数预测模型。首先，定义了区间灰数的联系数及其相关概念，然后，将区间灰数序列转化为二元联系数序列，并对二元联系数序列的同部序列和异部序列分别建立灰色预测模型，最后，将同部序列和异部序列的模型值还原为区间灰数，从而实现对区间灰数序列的预测。文中计算实例验证了联系数区间灰数预测模型的可行性。

1 基本概念

定义1[2]只知道取值范围而不知其确切值的数称为灰数。常用记号⊗表示灰数。

定义2[2]既有下界a又有上界b的灰数成为区间灰数，记为⊗∈[a,b]，其中a≤b。

定义3设区间灰数 ⊗∈[a,b]，若 a≥0，则称⊗∈[a,b]为非负区间灰数。

定义4对于非负区间灰数⊗∈[a,b]，令u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，则称u=A+Bi为对应于区间灰数⊗∈[a,b]的联系数,其中A,B分别称为联系数u=A+Bi的同部和异部。

定理1设区间灰数为⊗∈[a,b]的联系数为u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，则二者可以相互转化。

证明：首先，由定义4可知，区间灰数为⊗∈[a,b]可以表示为联系数u=A+Bi，其中A=a,B=b-a,i∈[0,1].其次，由u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]可知，只需解方程组，即可得到区间灰数的下限和上限，从而得到区间灰数为⊗∈[a,b]。

由上述证明可知，二者可以相互转化。

定义5设区间灰数序列为X(⊗)=(⊗1,⊗2,…,⊗n)，⊗k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，则称U=(u1,u2,…,un)，其中uk=Ak+Bki，Ak=ak,Bk=bk-ak，i∈[0,1],k=1,2,…,n，为 X(⊗)的联系数序列，称 A=(A1,A2,…,An)，B=(B1,B2,…,Bn)分别为联系数序列U的同部序列和异部序列。

2 基于联系数的区间灰数预测模型

基于联系数的区间灰数预测模型的基本思想为：首先，将区间灰数序列转化为联系数序列，其次，分别针对联系数序列的同部序列和异部序列建立灰色GM(1,1)模型，最后，将建立的灰色GM(1,1)模型的模拟预测值转化为区间灰数，从而实现对区间灰数序列的模拟和预测。

定理2设X(⊗)=(⊗1,⊗2,…,⊗n)是非负区间灰数序列，其中，⊗k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其联系数序列为U=(u1,u2,…,un)，其中 uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，其同部序列为A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)，异部序列为B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)。

(1)对同部序列建立GM(1,1)模型，可得到离散型时间响应函数为:

(2)对异部序列建立GM(1,1)模型，可得到离散型时间响应函数为

证明：(1)对同部序列 A=(a1,a2,…,an)建立GM(1,1)模型。

原始序列为A=(a1,a2,…,an)，其一次累加序列为，其中，其紧邻均值序列为，其中：

于是，可得到离散型时间响应函数为:

(2)与（1）的证明类似，略去。

定理3设X(⊗)=(⊗1,⊗2,…,⊗n)是非负区间灰数序列，其中，⊗k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其联系数序列为U=(u1,u2,…,un) ，其中uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，同部序列 A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)和异部序列B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)的离散型时间响应函数分别为：

3 计算实例

例1[15]某企业在分析竞争对手发展趋势时，缺少对手销售额的准确资料，通过在对共同竞标等经营活动中收集到信息进行分析后，对该企业销售额的最大值和最小值进行了估计，认为近几年该企业的销售额如表1所示。请对该企业以后的销售额进行预测。

表1 某企业销售额序列 (万元)

将区间灰数序列X(⊗)=([80,100],[95,120],[120,150],[130,160])转化为联系数序列U=(80+20i,95+25i,120+30i,130+30i),i∈[0,1],其同部序列为A=(80,95,120,130)，异部序列为B=(20,25,30,30)。对同部序列和异部序列分别建立灰色预测模型，并将相关计算数据列入表2。

由计算结果可知，同部序列和异部序列的模拟值分别为2.53%,3.04%,精度较高，可以进行预测。由定理3将同部序列和异部序列的预测值还原为区间灰数序列，就得到了该企业2005～2013年的销售模拟预测值(见表3)。

4 结语

文中针对传统灰色预测模型仅适用于实数序列而无法进行区间灰数序列建模的缺陷,提出了一种基于联系数的区间灰数预测模型。通过将区间灰数序列转化为联系数序列，并对联系数序列的同部序列和异部序列分别建立灰色预测模型，然后将模型值还原为区间灰数，从而实现了对区间灰数序列的模拟和预测，该模型对于继续探索区间灰数序列建模具有重要的理论和实际意义。