基于改进混合粒子群算法的电力系统无功优化

孙璐 唐孝舟

（华南理工大学电力学院）

1 引言

电力系统无功优化是一个复杂的非线性优化问题，具有多约束条件、不连续、控制变量离散性等特点。经典的数学规划方法，如非线性规划、线性规划、内点法等[1～3]，收敛可靠，收敛速度快，但这些方法求解时间长，易产生“维数灾”等问题，故传统的数学方法在处理无功优化时有很大的局限性。

近年来，基于人工智能的方法，如遗传算法[4]、神经网络、粒子群算法[5]等，具有全局收敛性，在电力系统无功优化问题中得到了广泛的应用。粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的进化计算方法，该算法模拟自然界生物群体间的简单社会系统，粒子群中的每个个体通过跟踪自身历史最优和群体最优值，自适应地进行搜索寻优。粒子群算法具有实现简单、鲁棒性好、收敛速度快等特点，已被广泛应用到函数优化问题中。

PSO算法在求解优化问题的初期收敛速度快，在后期易陷入局部收敛。共轭梯度法具有算法简单、收敛速度快、所需存储量小以及局部寻优能力强等优点。本文提出一种混合粒子群优化算法，将粒子群算法和共轭梯度法结合起来，综合了两种算法的优点，克服了粒子群的早熟收敛问题。通过对IEEE30节点系统的无功优化实验，证明该方法有较好的全局寻优能力，适用于无功优化问题的求解。

2 无功优化的数学模型

无功优化[1]是指在系统有功潮流给定的情况下，通过优化计算发电机机端电压 VC、有载调压变压器分接头Tt、可投切电容器 Qc在满足所有约束条件的前提下，使系统的有功网损最小。电力系统无功优化的数学模型为：

其中，f为有功网损最小的目标函数；Z=[VC,Tt,Qc]为控制变量；Zmin、Zmax分别为控制变量的上下限，通常会将发电机无功出力和负荷节点电压作为惩罚因子放在目标函数中。

3 混合粒子群算法的无功优化

3.1 基本粒子群算法[5]

在PSO算法中，每个优化问题的潜在解都可以想象成解空间上的一个粒子，所有粒子都有一个被目标函数决定的适应值，由N个粒子组成的粒子群在d维空间中进行搜索，每个粒子的位置为xi=(xi1,xi2,…,xid)，每个粒子的速度为 vi=(vi1,vi2,…,vid)。在每一次迭代中，粒子通过跟踪个体历史最优解 pi和整个粒子群的最优解pg来更新自己。更新公式为：

其中，t为迭代次数；c1、c2为学习因子；r1、r2为[0,1]间的随机数；ω为惯性权重；ω在迭代过程中线性递减，计算公式如下：

其中，tmax为最大迭代次数；ωstart和 ωend分别为初始惯性权重和终止惯性权重。

3.2 共轭梯度法[6]

共轭梯度法基本思想是，对一个优化问题：minf(x)给出一个初值x1，根据当前已知点处的梯度构造为搜索方向，计算下一个解。在第k次迭代，当前迭代点为 xk，产生的搜索方向为 dk∈Rn，记梯度为共轭梯度法的形式如下：

其中 αk为步长因子，它的选择需要满足从 xk沿dk方向寻找到一个好的点作为下一个迭代点这个要求，即：参数βk按下式进行计算：

共轭梯度法的计算步骤为：

① 给定一个初值 x1，d1=－g1，给定计算精度ε≥0，迭代次数k=1；

② 如果‖gk‖≤ε，则停止计算；否则计算αk，利用式（5）、式（6）计算xk+1；

③ 利用式（8）计算βk，进而得到dk+1，k=k+1，转至步骤②。

3.3 混合粒子群算法的无功优化

引入共轭梯度法，在粒子群算法的计算过程中，如果算法陷入局部最优，将此时的局部极值 Pg作为共轭梯度法的初始点，用共轭梯度法计算，得到的结果Pg' 将优于当前局部极值，帮助算法跳出了局部最优，再以Pg' 作为粒子群算法的全局最优值，继续用粒子群算法计算，直到算法结束。本文采用文献[7]的方法，通过计算粒子群的群半径和群体适应值标准差，来判断算法是否陷入停滞。

混合算法的具体步骤如下：

步骤1：初始化，输入无功优化需要的原始数据和PSO算法参数，初始化粒子的位置和速度；

步骤2：评价每个粒子，通过潮流计算，得到每个粒子的适应值，将该值与个体极值比较，若较好，则将其设置为pi；对每个粒子，将其适应值与全局极值相比较，若较好，则将其作为pg；

步骤3：粒子的状态更新，用式（2）、式（3）更新位置和速度；

步骤4：判断算法是否陷入停滞，如算法陷入局部最优，设此时的最优解为x*；

步骤5：以x*作为共轭梯度法的初始点，用共轭梯度法进行计算，得到的解为x'；

步骤6：判断算法是否结束，如是否达到最大迭代次数，是则停止运行输出结果，若不满足，则以x'为整个粒子群的最优解pg转至步骤2继续计算。

4 算例分析

为了检验本文提出的混合粒子群算法的可行性，对IEEE30节点系统[8]进行计算。IEEE30包含6台发电机（节点1、2、5、8、11、13，选取节点1为平衡节点），4台可调变压器（支路6-9、6-10、4-12、27-28）和2个无功补偿节点（节点10、节点24）。PV节点和平衡节点的电压上下限为0.90V、1.10V；PQ节点的电压上下限为0.95V、1.05V；可调变压器变比上下限为0.90V、1.10V；基准功率为SB=100 MVA。算法参数选择：最大迭代次数为100；群体规模为30；ω随着迭代进行由0.9线性递减到0.4。系统初始网损为5.84 MVA，电压越界点为5个，发电机无功越界点1个。优化后的结果见表1。表中数据均为标幺值。

表1列出了混合粒子群算法对IEEE30节点进行优化计算的结果，比较混合粒子群算法和标准粒子群算法可以发现，混合粒子群优化算法后的系统网损为5.11MVA，降幅为12.5%，比标准粒子群算法优化结果好。混合粒子群算法优化后的系统电压水平提高了，无电压越界节点，网损降低。可见混合粒子群算法具有明显的优势。

表1 IEEE30节点系统优化计算结果比较

5 结论

本文将粒子群算法和共轭梯度法相结合，提出一种混合粒子群算法以解决电力系统的无功优化问题。该算法结合了粒子群算法和共轭梯度法的优点，有效帮助粒子群算法跳出局部最优，且可靠收敛。算例的计算结果表明该方法所得到的解质量高，收敛速度较快。

[1]Dommel H W,Tinney W F. Optimal power flow solution[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,1968,87(10):1866-1876.

[2]Divi R,Kesavan H K. A shifted penalty function approach for optimal power flow[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,1982,101(9):3502-3512.

[3]刘明波,李建,吴捷.求解无功优化的非线性同伦内点法[J].中国电机工程学报,2002,22(1):1-7.

[4]张粒子,舒隽,林宪枢,等.基于遗传算法的无功规划优化[J].中国电机工程学报,2000,20(6):5-8.

[5]Shi Y,Eberhart R C. A modified particle swarmoptimizer[C].Proceedings of the IEEE word congress on computa- tional intelligence,1988:69-73.

[6]戴彧虹,袁亚湘.非线性共轭梯度法[M].上海:科学技术出版社,2000.

[7]熊伟丽,徐保国,吴晓鹏.带变异算子的改进粒子群算法研究[J].计算机工程与应用,2006,42(26):1-3.

[8]Lee K Y,Park Y M,Ortiz J L. A united approach to optimal real and reactive power dispatch[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,1985,104(5):1147-1153.