稳健估计在水准网数据处理中的应用

陈永星

（郑州市规划勘测设计研究院，郑州450000）

稳健估计是在粗差干扰不可避免的情况下，选择适当估计方法，尽可能地减免参数估值的影响，得出正常模式下的最优或接近最优的参数估值。测量数据受误差干扰是不可避免的，视其误差大小可分为有效数据、有用数据和有害数据3类。能正确揭示其分布模式的为有效数据，虽不是有效数据，但却能反映分布基本特征，对提高参数估值有用，称为有用数据，有害数据指含有粗差的数据。稳健估计原则是充分利用有效数据，限制利用有用数据和排除有害数据。在本文中采用了从一般到特殊的验证方法，选取了独立的水准网，用Matlab编写了选权迭代程序，分别采用Huber法、IGG1法在不含粗差、含有粗差的情况下，进行选权迭代，并和不含粗差、含有粗差的最小二乘估值结果进行比较，比较各种方法的优劣。

1 稳健估计选权迭代法

其计算的迭代过程如下：

（1）选择初始权P（V0），可令各权因子初值均为1，即w1＝w2＝…＝wn＝1，W ＝I，则P，P为观测权阵；

周江文教授1989年提出了不等权独立观测情况下的M估计的法方程写成矩阵形式为

（2）解算法方程（1），得出参数＾X和残差V的第一次估值：

2 采用的选权迭代法

2.1 Huber法

Huber提出的ρ函数为：

式中c为常系数，通常取c＝2σ，相应的权函数为

2.2 IGG法（周江文法）

ρ函数为：

权函数为：

3 水准网观测值的稳健估计

某水准网，共有7个首级控制点，其中A点为已知点。网形如图1所示。

图1 水准网网形图

已知A点高程为HA＝31.00m，观测高程为：

取5km观测高差的权为单位权，改正数以mm为单位。从S1～S9其对应的权阵为：

P ＝ diag（1／3，1／4，1／2，1／6，1／6，1／4，1／4，1／3，1）

4 未加粗差时的各种方法平差

控制网采取间接平差法进行平差计算，平差以待定点高程为未知数。利用最小二乘法和稳健估计的选权迭代法对观测数据进行平差。

表1 各种方法平差后各个水准点高程值／m

从表1可以看出：在没有加入粗差的情况下，各种平差结果基本一致，都在可接受的范围内，都为正确的值。

5 加入一个粗差后使用各种方法平差

为了说明各种选权迭代法在粗差剔除中的应用，再加上观测路线比较长，在观测数据h6中加入120mm（远大于二倍中误差）的粗差，即观测值为6.601m。然后使用各种方法平差，其平差结果见表2，各路线平差后的权见表3。

表3 加入一个粗差后的各路线平差后的权

从表2可以看出：当观测值加入粗差后，最小二乘平差结果偏离正确值，说明最小二乘抗差较弱；各种选权迭代结果基本一致，都在正确值的范围内，说明稳健估计具有抗差性。

从表3可以看出：Huber法和IGG1法L6的单位权远远小于其余路线的权，可以认为为0。由此可推断，在观测值中含有粗差，这与实际一致。充分说明了Huber法和IGG1法具有发现粗差的能力。

6 加入2个粗差后各种平差结果

在数据中加入2个粗差，然后再用各种方法进行平差，其平差结果见表4，各水准路线平差后的权见表5。

从表4与不含粗差的正确结果比较可以看出：

（1）当加入2个粗差时，最小二乘平差结果大大偏离正确值。

（2）Huber法、IGG1法和正确值相比，都有所偏离，其中IGG1法在整体上与正确结果最为接近。

从表5可以看出：Huber法中只探测出一个粗差，IGG1法的L3、L6的权几乎为0，可以判断出其中含有误差，这与结论相符。

综上所述，在探测粗差时，IGG1法比残差绝对和最小法和Huber法都更优化，具有准确的探测粗差的能力。

表4 加入2个粗差后的各点高程

表5 加入2个粗差后的各水准路线平差后的权

7 结语

通过本文的一些粗浅的研究，我们可以得出以下结论：

（1）在观测值不含粗差的情况下，最小二乘估计具有最优性，能得到最优的线性解；稳健估计也能很好地估计参数，但得到的解不是最优解。

（2）在观测值含有少量粗差的情况下，最小二乘估计失效，估计结果大大偏离正确值范围，而稳健估计具有良好的抗差性，能很好地进行估计，具有很好抵抗残差影响的能力。

（3）当批量采集测量数据时，在数据中是否含有粗差未知的情况下，不能通过人工剔除粗差，稳健估计具有很好的抗差效果。

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