基于GM(1，1)模型与灰色Verhulst模型的地铁竖井沉降预测

高良博 ，唐诗华，贾伟，孙昌瑜

(1.桂林理工大学测绘与地理信息学院，广西桂林 541004;2.广西空间信息与测绘重点实验室，广西桂林 541004)

1 引言

随着我国社会经济的发展以及城市规模不断增大，城市人口流量不断增加，交通状况急需改善。为了解决交通拥堵问题，兴建地铁成为有效解决途径之一。地铁多经过市中心或是人口稠密地区，然而地铁等大型工程施工过程会引起地表以及周边建筑物的变形，为了确保城市及工程建设的安全，就需要通过一定的方法来对变形监测数据进行分析和研究。本文利用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型分别对地铁竖井沉降数据进行模拟和预测。灰色系统模型是以“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发来提取有价值的信息，利用这些信息来进行有针对性的处理，从而得到相应的变形监测数据，为工程的安全施工提供有效保障。

2 灰色GM(1，1)模型原理

2.1 灰色GM(1，1)模型的建立

设原始非负数据序列:

其中，x0(k)≥0，k=1，2，…，n，n 为序列长度。对原始序列X(0)进行一次累加生成(1－AGO)，得到一个生成序列X(1):

对X(1)作紧邻均值生成:令

建立一阶微分方程为:

式中，a为灰色系统的发展系数，b为灰作用量，此式称为GM(1，1)模型。

利用最小二乘法求解并带入一阶微分方程(4)的解可得时间响应函数为:

所对应的时间响应序列为:

2.2 灰色GM(1，1)模型的精度

模型精度即模型拟合程度，通常采用后验差检验法，其是对残差分布的统计特性进行检验，是由后验差比值C和小误差概率P组成。

设原始数列及相应的预测模型模拟序列分别为X(0)和，残差序列为:

模型精度检验等级表 表1

3 灰色Verhulst模型

设X(0)为原始数据序列，X(1)为X(0)的1－AGO序列，Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，则称x(0)(k)+az(1)(k)=b［z(1)(k)］α为 GM(1，1)幂模型，式中当 α=2时，称为灰色Verhulst模型。

建立灰色Verhulst模型的白化方程为:

利用最小二乘法求解并带入白化方程解可得时间响应序列为:

灰色 Verhulst模型的精度检验方法与灰色GM(1，1)模型的精度检验方法相同。

4 工程应用实例

4.1 GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型预测

本文主要对地铁轨道交通11标段竖井沉降监测数据进行分析和研究。利用Matlab软件完成GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型的程序编写，实现模型的模拟与预测功能。然后利用实际沉降监测中的数据进行模拟预测，选取变形监测原始数据中等时间间距的10组数据，分别用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型进行模拟和预测。其预测结果如表2所示。

原始变形监测数据与模拟预测数据比较 表2

经后验差检验，GM(1，1)模型的后验差比值C=0.43，小概率误差P=1，精度等级为1;Verhulst模型的后验差比值C=0.19，小概率误差P=1，精度等级为1，均通过了模型精度检验。模型的拟合精度达到要求。GM(1，1)模型和Verhulst模型均可以应用于模拟和预测。

图1 沉降值与预测值比较

图2 GM(1，1)模型与灰色Verhulst模型的残差值比较

通过观察分析图1和图2得出以下结论:

(1)如图1所示，同时采用GM(1，1)模型和Verhulst模型进行模拟预测，由前10组数据建立模型进行模拟，对后3个点进行预测。显然，Verhulst模型的模拟和预测效果比GM(1，1)模型的效果好。

(2)GM(1，1)模型本质上属于指数函数模型，随着预测步长k的不断增大，模拟预测曲线不断单调上升，根据图1所示，GM(1，1)模型的长期预测值与实测值有很大偏差，故该模型不宜用于此工程的变形沉降模拟预测;而Verhulst模型适用于具有饱和状态的S形序列，针对地铁竖井沉降监测很适用，该模型的模拟值和预测值都与实测数值相符合，总体偏差不大，拟合效果较好。

(3)如图2所示，GM(1，1)模型的模拟预测残差值较大，而Verhulst模型的模拟预测残差值总体稳定，没有较大的浮动，说明Verhulst模型的模拟预测效果好，更适用于地铁竖井沉降预测。

5 结语

本文通过模拟与预测的实例可以看出，Verhulst模型能够较好地预测沉降变化，其预测精度优于GM(1，1)模型，并且精度较高。这主要是由于灰色Verhulst模型的系统发展规律与变形沉降的发生过程具有内在的一致性，这符合Verhulst模型的建模规律。灰色Verhulst模型是在较少的沉降数据的基础上，建立沉降预测模型，通过该工程实例充分说明灰色Verhulst模型的实用性、有效性和可靠性。该模型能够预测沉降的发展趋势，及时发现过大沉降差值，以便采取相应措施。

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