关于坡印廷矢量教学的几点思考

2012-06-27杜晓燕杨明珊

电气电子教学学报 2012年6期

杜晓燕，杨明珊，安娜

(1信息工程大学河南郑州450002;2郑州大学，河南郑州450001)

在“电磁场理论基础”课程中，经常要讨论电磁能量流动的问题，此时必然要应用坡印廷矢量(也称为能流密度矢量或功率流密度矢量)。这一内容是电磁场理论教学中的重要内容，不仅其结论要求学生熟练掌握，与其相关的坡印廷定理也要求学生深刻理解，而且这也是更深入地学习电磁波传播和辐射等问题的基础。

这一知识点的教学思路通常是:先由麦克斯韦方程组的两个旋度方程推导得到坡印廷定理的微分形式，再结合定理积分形式推导和能量守恒定理引出瞬时坡印廷矢量，然后将定理推广至频域，并讨论复坡印廷矢量和平均坡印廷矢量［1-5］。

但教学过程中，一般都着重强调能量守恒定理在坡印廷定理中的体现、用坡印廷矢量描述电磁能量流动等内容，甚少讨论坡印廷定理微积分形式的作用、坡印廷矢量与媒质的关系及三个坡印廷矢量之间的关系等。这常常导致学生产生错误的认识:如认为坡印廷定理微分形式与积分形式在引出坡印廷矢量时的作用相同、复坡印廷矢量仅与电磁波的电场和磁场相关等。

1 坡印廷矢量的引出

我们如将麦克斯韦方程组中的全电流定律和法拉第定律的微分形式代入如下的矢量恒等式:

从场的角度可以将上式解读为:空间中任意一点上电源的输出功率、该点上电阻的损耗功率或该点的电/磁功率随时间的变化率，都可以导致E×H空间分布的变化。E×H具有功率的性质。

我们知道电磁场分析过程中，微分形式描述了空间中任意一点的微观情况，而积分形式则给出了一定区域内的宏观关系。所以，微分形式应该是比积分形式更一般的形式。

但是，只有微分形式不可能引出电磁能量流动的实质(即无法研究能量从一点向另一点传输)，还必须从坡印廷定理的积分形式出发进行分析。将上式两边分别对任意体积进行积分，可得坡印廷定理的积分形式:

所以，尽管微分形式的坡印廷定理是基本形式，但引入电磁能量的流动特性时，必须强调其积分形式。这一点类似于边界条件讨论过程中，场不连续处采用基本方程的积分形式，而此处则是针对不同点之间的讨论采用定理的积分形式。

2 复坡印廷定理

将复振幅形式的全电流定律和法拉第定律的微分形式代入矢量恒等式:

为分析简便，此处仅讨论无源区，可得到复坡印廷定理的微分形式为

将上式两边分别对任意体积τ积分，得到坡印廷定理的积分形式，可分开写出其实部等式和虚部等式:

式中，ω= ε'－ jε″，μ= μ'－ jμ″，Wm为磁场时间平均能量，We为电场时间平均能量。

以上两式均具有明显的物理含义。式(6)表示流出无源闭合区域的电磁能流的周期平均值与这一区域内由于欧姆损耗和介质损耗所消耗的电磁功率的周期平均值相等。式(7)表示当τ内储存的电能和磁能的时间平均值不相等时，呈现为电性或磁性的这部分平均净储能需要用复坡印廷矢量的虚部来平衡。结合电路中的电源、RLC组成的电路，还可以让学生浅显地理解坡印廷矢量。