钠气溶胶粒子尺寸分布参数的数学模型研究

孙大杰，张东辉，任丽霞

（中国原子能科学研究院，北京102413）

在快中子增殖堆的安全分析领域，对由冷却剂泄漏引起钠火导致的气溶胶的释放的研究是一个重要的环节。在对钠气溶胶的行为研究中，对其粒子尺寸分布、浓度的研究无疑是最基础的内容，而目前国内相关的文献很少。

在大气气溶胶研究领域被广泛应用的是负幂指数分布、Gamma分布和对数正态分布这三种典型的数学模型。而经过实验发现，无论是池式钠火还是雾状钠火，其释放的钠气溶胶粒子尺寸分布均服从对数正态分布。本文即以对数正态分布的数学模型为出发点，对钠气溶胶尺寸分布的某些特性予以探究。本文的工作有利于对钠气溶胶可能携带的放射性对人员及周围环境影响进行深入研究。

1 理论推导

我们知道，钠燃烧时会释放出钠气溶胶，经实验发现，钠气溶胶粒子尺寸分布成对数正态分布（Lognormal Distribution）[1］，其概率密度函数为：

其中，为气溶胶粒子的半径，是气溶胶粒子数量中值半径，是气溶胶粒子尺寸标准偏差，其物理意义后面再予以讨论。显然，

如果我们把lnr看作一个新的变量，则该变量服从正态分布（Normal Distribution）。

在描述钠气溶胶粒子的分布特殊参数时，我们要经常用到几个定义的名词：

MMD：Mass Median Diameter of aerosol particle，气溶胶粒子质量中值直径，它的含义为：直径超过该值的所有粒子的质量和占气溶胶总质量的50%，直径低于该值的粒子总质量也占气溶胶总质量的50%。用公式表达即为：

其中，ρ为气溶胶粒子的材料密度。

CMD：Count Median Diameter of aerosol particle气溶胶粒子数量中值直径，它的含义为：直径大于该值的粒子数目占气溶胶粒子总数目的50%，直径小于该值的粒子数目占气溶胶粒子总数目的50%。用公式表达即为：

在图1中，分布曲线与交点对应的横坐标316即为CMD值，从后面的证明我们知道，该值也等于2rg（t）。

图1 rg（t）＝1.0μmσg（t）＝1.6时的气溶胶粒子累积分布图Fig.1 The cumulative grain－size distribution curve of sodium aerosol when rg（t）＝1.0μmσg（t）＝1.6

SMD：Surface Median Diameter of aerosol particle，即气溶胶粒子表面积中值直径，它的含义为：直径大于该值的所有粒子的表面积之和占所有气溶胶粒子表面积之和的50%，直径小于该值的所有粒子的表面积之和占所有气溶胶粒子表面积之和的50%。用公式表达为：

下面，我们利用其定义，求解MMD、CMD、SMD的各自解析形式，为了便于在概念上进行理解，我们先求解CMD。

由前面的公式（4）知，CMD满足：

令x＝lnr代入，作变形得：

（7）式中被积函数为对称函数，显然，ln（CMD／2）＝lnrg（）t，即

对于MMD，由（3）式之定义得：

同理，由于被积函数的对称性，我们可得ln（MMD／2）＝lnrg（t）＋3ln2σg（t），即：

同样，由于公式（5）我们可得：）

由式（8）、式（10）、式（11）可得，三者之间的关系为：

下面，我们来说明钠气溶胶粒子标准偏差σg（t）的物理意义。在图1中的分布曲线在CMD附近近似为一条直线，在实验测量中，我们得到的分布曲线也近似为一条直线。

其中，N（t）是单位气体空间气溶胶粒子的数量密度，将（1）式代入（14）式中，可得出C（t）的解析形式：

不难证明，（13）式中进一步展开，其二阶展开项为0，因此该曲线中近似直线的部分，线性度非常好，因此，即为该直线的斜率，可以看出，σg（t）越大，直线的斜率越小，粒子的尺寸越分散；σg（t）越小，直线的斜率越大，粒子的尺寸分布越集中。因此，σg（t）物理意义表示气溶胶粒子尺寸分散的程度。在不少文献中，σg（t）被称为几何标准偏差（Geometric Standard Deviation，GSD）[2］，不 难 证 明，GSD＝ （d84／d50）＝ （d50／d16），其中，d84表示，直径小于该直径值的粒子数目份额为84%，d50、d16意义类似。

实际测量表明，在钠燃烧产生的气溶胶的浓度约为克每立方米的量级时，MMD约为4～9μm，偏差σ＝1.4～2.1μm[3］。

在气溶胶传输过程中，凝集和沉降是气溶胶尺寸分布发生变化的主要机理。布朗运动、两微粒的速度不同、湍流的影响，是造成气溶胶凝集的主要原因[4］。Gelbard and Seinfeld对凝集的过程有详细的模型描述[5］。气溶胶的凝集和沉降可能会导致其尺寸分布随时间的变化，因此，rg（t）、σg（t）都是时间t的函数，不过，为了简单起见，实际处理时，我们假设其分布曲线形状不随时间而变化，即rg（t）、σg（t）不随时间变化。

此外，气溶胶粒子的尺寸还会受到空气相对湿度的影响，空气相对湿度增加时，分布曲线会向右方平移，平均半径增大。Hajime YAMAMOTO、Yoshihiko SATO的实验发现，当空气相对湿度从0%增加到70%时，数目中值直径CMD从1.2μm增加到2.7μm，但是其标准偏差则基本保持在1.6左右不变[6］。

设单位气体空间的气溶胶质量密度C（t）为：

由式（10）、式（15）联立消去rg（t）可得，两者结果很相似。

Susumu KITANI，Hiroshi MATSUI等的通过实验拟合出的结果：

可以看出，公式（19）与公式（20）基本相一致。两曲线的对比如图2所示。

2 和实验结果的对比

Na2O、Na2O2和NaOH纯净物的密度分别为2.77g／cm3、2.805g／cm3、2.15g／cm3，但实验发现当以气溶胶形式存在时，粒子的物质密度明显要比上述的密度小很多[3］。同时，粒子的物质密度与粒子的半径也有一定关系。因此，（17）式中，密度ρ严格来说只是个有效近似值。先前描述气溶胶在地面上的沉降系数时，用到密度与半径的经验关系式为[7－9］：

图2 MMD与C0的关系曲线理论与实验值的对比Fig.2 The contrast of the theoretical curve of relationship between MMD and C0to experimental result

图2中，红色直线表示公式（19）；黑色直线为周围实验数据点的拟合，实验数据来自参考文献[10］。

3 结论

为了简单起见，我们作了如下处理：（a）公式（16）中用一等效的ρ来代替；（b）σg（t）、C（t）、N（t）均取t＝0的初始时刻值σg（0）、C0、N（0）。根据实验，密度的有效值ρ＝1g／cm3＝10－9mg／μm3。

将ρ＝10－9mg／μm3，σg（0）＝1.6，N（0）＝1012m－3代入（16）式中得

注意，（19）式中，C0的单位已经转换成mg／m3，MMD的单位已经转换成μm。

将我们由理论推导出的公式（19）与经验公式（18）可以发现，两公式中C的指数项接近，此外，量纲也基本一致。注意到公式（18）中，r与ρ都是为了计算气溶胶在地面的沉降系数而定义的，由于用处的不同，导致其与公式（19）中用到的ρ意义并不一样。公式（18）中r随C0.3成正比，与公式（19）中的 CMD随成正比，

这里，r的单位是μm，C的单位是g／m3，ρ的单位是g／cm3。V.D.Kizin，I.G.kobzar and Yu.V.Chechetkin通过实验给出更为可信的结果[1］：

本文从对数正态分布的概率密度函数出发，依据气溶胶各特征参数最原始的定义，推导出了各特征参数的解析形式，阐明了其物理意义。进一步结合钠气溶胶相关的实验结论，部分参数取经验值后，给出了钠气溶胶质量中值直径MMD与气溶胶质量密度C的关系式：MMD＝0.172 81C1／30，该理论值与实验值基本符合。

[1]Seiji KAWAHARA.Description of Aerosol Release Associated with Sodium Burning [J］.Journal of NUCLEAR SCIENCE and TECHNOLOGY，1977，14（5）：343－350.

[2]向晓东.气溶胶科学技术基础[M］.北京：中国环境科学出版社，2012.

[3]Kizin V D，Kobzar I G，Chechetkin Y V.Aerosol Behavior for Sodium Burning in an Industrial Building[J］.Atomnaya Energiya，1975，39（2）：115－116.

[4]Akira YAMAGUCHI， Yuji TAJIMA . Response Surface Modeling of Aerosol Release Fraction in Sodium Pool Combustion[J］.Journal of Nuclear Science and Technology，2003，40（10）：862－870.

[5]Gelbard F，Seinfeld J H.Simulation of Multicomponent Aerosol Dynamics[J］.J.Colloid Interface Sci，1980，78（2）.

[6]Hajime Y，Yoshihiko S.Determination of Sodium Aerosol Depletion Rate in Circular Conduits[J］.Journal of Nuclear Science and Technology，1985，22（11）.

[7]Koontz R，Nelson C，Baurmach L.in：Proc.IAEA Symposium－Treatment of Airborne Radioactive Wastes[C］.Vienna（1968），SM－100／19.

[8]Koontz R.Transaction of the American Nuclear Society[M］.1967.

[9]Koontz R，et al.Transaction of the American Nuclear Society[M］.1969.

[10]Susumu KITANI，Hiroshi MATSUI，Seiichiro UNO.Behavior of Sodium Oxide Aerosol in a Closed Chamber [J］.Journal of Nuclear Science and Technology，1973，10（9）：566－573.