钢筋混凝土梁的优化设计

2012-06-12曾彬峻李文兴

武汉工程大学学报 2012年8期

曾彬峻，李文兴

(桂林理工大学土木与建筑工程学院，广西桂林 541004)

0 引言

在工程建筑物中，矩形钢筋混凝土梁是一种很常见的受力构件，所以探讨此类构件的优化设计问题具有一定的现实意义.建筑物中梁板结构部分的造价占总结构造价的50%左右，梁设计的合理与否对结构工程造价的影响起到至关重要的作用.优化设计的方法有很多，包括拉格朗日乘子法、复形法、模糊优化法、罚函数法等等.而近来很多研究者又采用各种优化方法的改进方法进行优化设计，譬如模糊动态罚函数法、模糊罚函数遗传算法等，但是最有效的方法还是罚函数法[1].应用罚函数对钢筋混凝土进行优化已有很多学者进行过研究，基本都是基于单调的一种材料组合下进行截面、经济效益的优化，因此本文采用罚函数法，并结合MATLAB的优化工具箱对多种材料组合进行研究，先得出每一组的优化结果，然后从所有实验组里选出最优、最经济的设计.

1 优化设计原理

罚函数法针对约束函数构造适当的中间函数，并引入罚因子将约束条件引入到目标函数中构成无约束目标函数，对于约束优化问题，罚函数的一般形式为[2]：

(1)

式(1)中：φ[hv(x)]和ψ[gu(x)]分别为根据等式约束hv(x)和不等式约束gu(x)构造的中间函数，恒为非负.r1和r2为罚因子或罚参数，是大于零的实数，根据中间函数的特性，罚因子的值在迭代过程中会不断变化.中间函数与罚因子的乘积称为惩罚项，在设计变量取值接近边界的过程中，罚因子与中间函数朝相反的方向变化，但在无限逼近的过程中惩罚项趋于零.当约束条件未被满足时，罚因子越大，罚函数的值也越大，不符合罚函数极小化的目的，所以罚函数内包含了当约束条件未被满足时在目标函数上所受的“惩罚”[3].

随着罚因子的不断调整，无约束最优解会不断的逼近有约束的最优解，所以罚函数法其实是一种序列无约束极小化方法，简称“SUMT”法.SUMT的方法有很多，从原理上可以分为：外点法，内点法和混合法.在本文中是采用混合罚函数法对钢筋混凝土梁进行最优值求解.

混合罚函数法[2]是把外点法和内点法结合起来，不等式是约束采用内点法，等式约束采用外点法.对于一半形式优化问题：

min(max)f(x)=f(x1,x2,...,xn)，x∈Rn

(2)

满足gu(x)≤(≥)0，u=1,2,...,L

hv(x)=0,v=1,2,...,M

混合罚函数的具体形式为：

(3)

混合罚函数法的迭代过程如下：

a.选择初始迭代点x(0)，合适的初始罚因子及罚因子r(0)递减速率c，且计数k=0；

b.对不等式约束按内点法构造中间函数，对等式约束按外点法构造中间函数；

c.令k=k+1;r(k)=cr(k+1)进行迭代;

d.判断迭代是否满足精度要求：|f(x(k))-l(x(k)),r(k)|<ε，k=1,2,...n，如果不等式成立且满足迭代过程结束，以x(k)作为最优解x*的最终近似值，否则转到第(3)步继续迭代.

2 钢筋混凝土梁的优化设计

2.1 模型建立

本文以单筋混凝土简支梁为例，其计算简图如图1所示：

图1 优化设计计算简图Fig.1 Optimal design diagram

2.2 变量设计

由于钢筋混凝土的优化设计是一个多变量的，多约束，非线性的优化设计，所以等截面矩形梁本身的材料费用取决于混凝土的造价和钢筋的造价之和.混凝土的造价取决于截面的尺寸(即b和h)，而钢筋的造价包括(架立筋，受力筋，箍筋)的造价，对于单筋梁时，架立筋是按照构造配筋的，所以不会发生变化，箍筋也是按照构造配筋的但是随梁高变化，但是不太灵敏，所以钢筋造价跟受力筋的面积As的变化相关.

2.3 目标函数

本文仅计入混凝土的造价，钢筋的造价，混凝土的强度和钢筋的强度，考虑到是等截面梁，所以目标函数[4]假定为：

Z=bhZe+AsZs

(4)

式(4)中：Ze、Zs为混凝土受拉纵筋As的单位造价，元/m3.

2.4 约束条件

2.4.1 正截面承载力要求[5]

(5)

fyAs=fcbx

(6)

式(5)中：M为弯矩设计值；fc为混凝土弯曲抗压强度设计值；B为梁的截面宽度；h为梁的截面高度；x为混凝土受压区高度.

2.4.2 最小配筋率要求

Y2=As-ρminb(h-as)≥0

(7)

式(7)中：按规范规定取的纵向受拉钢筋最小配筋率.

2.4.3 最大配筋率要求

Y3=ξ-ξb≤0

(8)

(9)

式(8)中：ξb表示钢筋界限受压区高度

2.4.4 斜截面承载力要求(构造配筋)

Y4=V-0.7ftb(h-as)≤0

(10)

式(10)中：ft表示混凝土轴心受拉强度设计值.

2.4.5 梁的尺寸控制

Y5=b≥b0

(11)

Y6=h≥h0

(12)

式(11)中：b0和h0分别表示梁宽度和高度的下限值.

2.5 优化数学模型

由(5)到(13)，X=[b,h,As]T及minf(x)=Z=bhZe+AsZs组成.

3 MATLAB的优化求解

MATLAB优化工具箱是面向最优化问题求解的专用工具箱，具有强大的科学计算能力，含有一系列的优化算法函数，对各种优化问题提供了一个完整的解决方案，主要包括线性规划、二次规划、非线性规划、最小二乘法问题、非线性方程求解、多目标优化、最小最大问题、以及半无限问题等等的优化问题.在土木工程领域中，结构优化问题大多数都是多变量、非线性约束的最优化问题，因此使用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数进行求解，其具体的数学模型可以用式(13)形式表示：

(13)

式(13)中：x,b,beq,lb和ub为向量；A和Aeq为矩阵；C(x)和Ceq(x)为函数向量，分别表示非线性不等式和非线性等式约束；f(x)为标量函数.

fmincon的具体调用的一般形式为：x=fmincon(fun,x0,A,b)，其中fun为目标函数，x0为迭代初值.对于钢筋混凝土梁的最优化设计问题的具体流程如图2所示.

图2 MATLAB优化实现流程图Fig.2 MATLAB realize optimization flow chart

4 实例分析

有一矩形截面简支梁，跨度L=6 m,上面有均布荷载q=50 kN/m作用，其混凝土可选用C20—C40，钢筋可以选用HRB335,HRB400.材料信息：混凝土单价(C20：400元/m3，C25：415元/m3，C30：430元/m3，C35：445元/m3，C40：460元/m3),钢筋4 000 元/t.试求在满足承载力要求及规范所规定的构造要求的条件下，而造价最经济的设计.

a. 最大弯矩和最大剪力计算

b. 罚函数的构造

φ=(X,r)=450bh+4 000×7.85As-

结果输出:运用MATLAB优化实现流程，通过10次材料参数的改变，得到各种组合下钢筋混凝土梁的优化结果如表1所示.