基于偏微分方程的均衡网状扩散图像增强模型

谢满 张进虎 吴媛媛

(东莞理工学院 计算机学院，广东东莞 523808)

基于偏微分方程的均衡网状扩散图像增强模型

谢满 张进虎 吴媛媛

(东莞理工学院 计算机学院，广东东莞 523808)

运用偏微分方程方法，对图像进行降噪与边缘增强。其中，重点研究网状扩散模型，并对其存在的问题进行分析。实验表明，扩散模型的效果在效率和处理的质量方面更胜于基本的偏微分图像处理技术。

图像去噪;边缘增强;均衡网状扩散;偏微分方程方法

图像去噪是指减少现实中的数字图像在数字化和传输过程中常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响的过程。这个技术对于相关应用来说也是非常重要的，可以说图像去噪方法在图像处理、计算机图形学、现实应用中占据了一个特殊的地位［1－2］。到现在为止，基于偏微分的图像去噪技术，如Perona－Malik模型［3］与全变分 (TV)模型［4］及其改进［5－7］，都会使图像失去良好的结构或看起来不自然。另外，在图像去噪技术中存在一个不足之处：由于非期望的耗散或收敛趋势的影响，其稳态解中往往有明显的“分片常数”效应，或称“阶梯”效应。

为了显著减少和有效地抑制噪声，本文将介绍扩散调整的方法。其中，特别地探讨一个新的数学模型，即均衡网状扩散 (END)，目的是改进图像处理的数学模型，使之能够修复图像的良好结构。本文中像素点的灰度值设为0和1之间的实数离散函数 (即实际灰度值/255)。这样处理后，像素点就会减少为8位显示格式。

设u0为观察到的被噪声污染的图像，且满足

其中，u是期望图像，v是具有零均值的随机噪声。通用的去噪方法是使得梯度能量函数最小化，即是在约束条件下求泛函极值：

其中，Ω是图像的支撑集，ρ是递增的函数，λ≥0为约束参数。式 (2)的Euler－Lagrange方程为

应用最速下降法，当ρ(r)=r时，其将简化为基本的TV图像复原模型：

其中，σ2是噪声方差。

TV图像复原的基本模型中存在的“分片常数”效应或“阶梯”效应，这将造成图像失去了良好结构，例如，TV模型常常收敛到一个分片常数的图像。为了缓减“分片常数”效应，Marquina和Osher提出了改进：在式 (4)的右边乘以梯度模值|▽u|

为进一步改进模型，可令 ρ(x)=x2－q，0≤q≤2，在(3)式中乘以|▽uq|，

其中，β=λ|▽u|q/(2－q)。当q=2时，式(7)可化为Perona-Malik模型［9］，为凹－凸各向异性扩散。对于q∈［0，2)，模型(7)能够求稳定的数值解。数值实验证明当1＜q＜2时，其更优于ITV模型。

2 扩散调整方法

在这一部分，将提出对扩散调整方法包括一个含有3个主要元素的有效的去噪模型：扩散算子、调制器、约束条件。先分析产生于基于偏微分的去噪模型所的非期望耗散。为简单起见，先研究TV模型(4)，其相应的噪声 (残差)为v=u0－u，因此，方程 (4)相关的残差方程为

尽管所给出的原始图像u0和期望得到的图像u在初始条件下分段光滑的，但是图像在t＞0的像素残差是正或负则取决于各自图像的凹凸类型。因此，解决t＞0时的TV模型时，必须使其曲率在任意一点上是非零的;曲率 (模数)越大，非期望耗散源的也就更容易发生。通过观察，上述TV模型可以应用到基于偏微分的图像处理的去噪模型上

其中，S是扩散算子，Q是非负的约束条件。(如果S和Q选择恰当，则模型 (9)能够推导出大多数的去噪模型，包括引言中所提及的所有模型。)根据实际观察可知，当扩散级|Su|越大时，方程 (9)的解在像素点上体现了更多非期望耗散。所以，这是该方程不够好的地方，是会导致良好的结构被破坏，处理效果反而被恶化。

为了克服上述缺点，将方程 (9)加以改进，设其扩散算子为变量，即能自我调制，可得

其中，M是一个正函数，R则是一个适当的约束条件，称M(Su)Su为模型 (10)的网状扩散。函数M的功能是减少图像像素在稳定扩散中的优先级|Su|。一个有效的调制器可以定义为存在某些S0，当满足|Su|≥S0≥0(比较大的控制范围)，其稳定扩散能够近似相等。值得注意的是稳定扩散函数N(s)=M(s)s必须是增函数且关于零点对称，模型 (10)的收敛方向为扩散减少的方向;由于函数N(s)关于原点扩散，故有N(－s)=－N(s)，即净扩散函数N能够在两个凹面上能够有同样的扩散，这样一个平衡网状扩散模型能够如下定义为

对于某些正整数η和γ，如图1示。

当s比较小时，|N(s)|变化得比较快，到达一定程度后又趋于稳定，因此，实际上可以考虑把函数N看作是均衡网状扩散方程。与方程 (9)合并，则能够将模型 (10)变化为称方程 (12)为方程 (9)的平衡网状扩散模型。

图1 给定网状扩散函数中η和γ的值

现在来研究怎么选取合适的η和γ，设un－1是迭代n－1次的图像，则由迭代n次un可算出常数η和γ的关系式：

前者决定了网状扩散方程在原点附近的清晰度，当χ渐进于1时，图像锐化现象会变得更加严重;而后者意味着

求解式 (13)，可得

结合式 (14)可得

扩散级|Su|直接从震荡区域得到，通常比L2－均值S0大，因此方程 (17)中的阈值T能够使均衡网状扩散在某些区域达到好的效果。例如，当Su=－|▽u|q▽·(▽u/|▽u|q)，0≤q≤2时，对于普通的图像 (灰度值已经映射到 ［0～1］之间)，均值S0的值在0.01～0.3之间。设S0=0.1，χ=0.9，则从方程 (13)、(14)和 (15)中解出η=90和γ=10，另外有0.1≤N(s)≤0.111(当|S|≥S0=0.1)。

综上所述，η和γ的选择可以归纳为：

a)选择常数χ使得0＜χ＜1。

b)计算|S0|的L2－均值，S0：

c)计算参数η和γ

如此，模型 (10)只要求选择一个决定了扩散方程N清晰度的参量χ(其中χ∈0.85～0.95)。注意到当χ=0，有M(s)=1，此时模型 (10)变成了传统的模型 (9)。

3 数值实验

选择模型 (7)作为基本的模型，并考虑合并后的END模型 (10)。设χ=0.9，在方程 (7)和(10)中约束变量β和R是根据文献［7］提出的。为了研究一个有效的模拟模型，我们采用了Crank－Nicolson－交替方向隐式 (CN－ADI)迭代过程［11－12］，当‖un－un－1‖∞＜0.01时，CN －ADI迭代停止(默认为高斯噪声)。图2a为含噪声的原图，图2b、图2c、图2d分别为模型CCAD、CCAD［0］、CCAD［1］的增强效果。不难看出，虽然它们比原图都有所增强，但效果并不理想。图2e为本文END模型的增强结果，其降噪与边缘保护效果是最好的。

图2 含噪声的原图与4种不同模型处理后的效果图

4 结语

在图像去噪技术中，传统的基于偏微分的图像修复技术肯可能会失去良好的结构，为了减少噪声，我们研究了扩散调整模型，特别是均衡网状扩散模型。虽然改进后的END模型是高度非线性的，然而它可以运用CN－ADI模型实现稳定、高效的计算算法。数值实验表明，改进后的模型在质量和效率方面更胜于传统的基于偏微分的图像修复技术。

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［2］杨新．图像偏微分方程的原理与应用［M］．上海：上海交通大学出版社，2003：6－19．

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［4］王大凯，侯余青，彭进业．数字图像的偏微分方程方法［M］．北京：科学出版社，2008：195－215．

［5］章鋶晋．图像处理和分析［M］．北京：清华大学出版社，1999．

［6］陈文斌．图像处理与分析［M］．北京：科学出版社，2007：87－108．

［7］陈刚．基于偏微分方程的图像处理［M］．北京：高等教育出版社，2003：56－198．

［8］汪继文，林胜华，沈玉峰，等．一种基于各向异性扩散的图像处理方法［J］．计算机技术与发展，2008，18(8)：98－100．

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Image Enhancement Model of Equalized Net Diffusion Based on Partial Differential Equations

XIE Man ZHANG Jin-hu WU Yuan-yuan
(Computer College，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China)

This article introduces the image denoising and edge enhancement by using the method of Partial Differential Equation(PDE)，mainly researching mesh diffusion model．Experiments show that effects of diffusion model are better than basic partial differential image processing technologies．

image denoising;edge enhancement;equalized mesh diffusion;PDE’s method

O175

A

1009－0312(2012)05－0009－04

2012－05－25

谢满 (1990—)，男，广东潮汕人，主要从事偏微分方程研究。