一步法精度影响及适用范围分析

林四海，陈西强，刘 丰 ，凃道勇

(福建省电力勘测设计院，福建 福州 350003)

电力线路勘测和一般的线路勘测有其自身的特点，线路窄而长，电力线走廊通视条件一般较差，尤其是在山区，且对平面和高程精度要求不一致[1]。由于GPS技术其特有的技术优势，在电力线路勘测中已得到了广泛的应用[2]。

GPS测量直接得到的是WGS-84系统下的大地坐标及大地高，而工程应用中所采用的一般为1954北京坐标系或西安80坐标系下的坐标，且高程一般为1985高程系统下的值。这就导致存在两者之间的转换关系。LEICA Geo Office Combined一共提供3种方法[3]，即经典三维法、一步法和两步法。其中一步法是一种简单的强制拟合的方法，其优点是对点的数量要求不高，可以平面和高程分开处理，其高程误差不影响平面。不需要相关的投影和椭球信息。适用于小区域以及独立坐标系统，在小区域几个点转换的精度甚至优于经典三维法的转换精度。但该转换方法只适用于小的区域，不适合进行外推，在外推时精度损失很快。

针对电力线路其自身的特点，在现实工程应用中，对线路区域内已知点的投影和椭球信息一般比较缺乏，其线路两边外控点位数量有限，因此一步法可以得到广泛应用。本文将从一步法的基本理论出发，对先验坐标值及高程值的精度对转换后的坐标影响及其适用范围从理论上给出详细的分析，对工程实践具有一定的理论指导意义。

1 一步法原理

1.1 平面坐标转换

设i点的1954年北京平面坐标为 ( XiYi)54，其对应的WGS84在横轴墨卡托投影下的平面坐标位 ( xiyi)84，则其在平面坐标之间存在的转换关系为[4]：

其中：u为尺度比参数， R (εz) 为绕Z轴的旋转量参数， ( x0y0)T为两个平面直角坐标系的平移参数，当 εz很小时，有cos εz= 1 ，sin εz=εz，并假设u=1+du，同时去掉二阶高次项，则(1)式简化可表示为：

则由(2)式可得误差方程：

当由n个点参与坐标系配置时，误差方程可以表示为：

简记：

并假设其权矩阵为P，根据最小二乘原理可得转换参数及其相应协因数阵为：

1.2 高程拟合

在高程方面，一步法中高程的解算主要是通过简单的GPS高程拟合来实现，当公共点位数为0时，不提供高程转换参数，当只有一个公共点时，即只提供一个插值常数进行强制拟合，这种方法一般精度比较低；当由两个公共点时，则由两个高程点推算的平均改正数进行套合，只适合于小区域；当多余2个以上时，通常利用平面拟合进行高程参数的求解，对于平坦或微丘小地区，大地水准面近似看作线性的光滑平面 (变化量约为每10km为0.1m) ，这时可采用最为简单的一阶多项式曲面拟合，即平面拟合[5]。该拟合法需要确定3个参数，因此至少需要知道3个已知点。 它是采用削高补低的原则，平滑出一个曲面来代表拟合区的似大地水准面，供内插和外推使用来求解待定点的正常高。

设测点的高程异常ξ与该点的平面坐标x，y有以下函数关系[6]：

式中： f(x,y)为ξ中的趋势值， Δ为误差。设

写成矩阵形式有：

式中：

对于每个已知点，都可以列出以上方程，并假设其权矩阵为P，根据最小二乘原理即在∑ ∆2=min 的条件下可得拟合参数及其相应协因数阵为：

再按(9)式解出待定点的高程异常值ξ=，从而求出正常高H常。

2 初始值对转换精度的影响

2.1 初始坐标对平面转换参数的影响

由前面分析可知，转换参数的单位权中误差为：

则由(7)式可知转换参数的精度为：

假设1954北京坐标系下的坐标与WGS84坐标系下的坐标是相对独立的，则由误差传播定律[7]可知，转换参数的精度可用已知坐标的精度来表示为：

由(17)可知参与坐标系配置的已知坐标点精度直接影响到转换参数的精度，并以近似线性的关系传递给转换后的新坐标值。

2.2 已知高程对高程拟合参数的影响

假设大地高H84和正常高H常是相互独立的，同理分析可得出拟合参数精度与已知高程点精度的关系为：

由(18)式可知，已知点高程的大地高及正常高的精度对转换参数的综合影响是线性的，并以线性的形式传递给最终求解的高程异常值。

需要指出的是，参与高程拟合的已知点与参与平面坐标转换参数的已知点可以相同，也可以不同。并由以上分析可知，其平面精度与高程精度互不影响。

3 适用范围分析

3.1 投影平面长度变形分析

一步法这种转换方法的进行是通过将高程与点位分开进行转换。在平面点位转换中，首先将WGS84地心坐标投影到临时的横轴墨卡托投影，然后通过平移，旋转和比例变换使之与计算的“真正的”投影相符合。由此可知其变换的前提是在一个局部的平面格网坐标系中进行转换，即以水平面代替了具有一定曲率的大地水准面。从而要求点与点之间长度投影变形必须在规范范围之内或者更严格的要求以内。通常投影后对长度的变形影响相对变化见式(19)[8]：

其中：S表示地面上两点的圆弧长度，R表示地球半径，ΔS表示投影后长度的变形量，单位均为km。由此可以得出其相对误差趋势图见图1。

图1 投影长度变形相对误差趋势图

由图1可以看出，当在10km以内，其相对误差在1/1217700以内，而随着长度的增加，其变形相对误差相应增大。为满足以水平面代替了具有一定曲率的大地水准面，一般在10km以内都可以满足小于1/40000的变形精度要求。

3.2 电台信号发射半径分析

考虑RTK作业模式的特点，其中使用一步法时流动站需接受基准站电台发射出的相位差分改正信息才能得到精确的GPS在WGS84下的大地坐标，进而进行正确的转换，故信息链通讯信号的强度很重要。

由于数据链电台采用高频载波发送数据，而高频无线电信号是沿直线传播的，这就要求参考站发射天线和流动站接收机天线之间理论上无遮挡信号的障碍物。但在现实工程实践中，往往存在地形、建筑物、无线电信号发射台之类的影响。一般当电台信号的发射功率一定时，它的发射距离与基准站电台天线高度和流动站天线高度以及区域的地形条件存在一定的非线性关系，其中值得参考的是TRIMMRKII电台的发射半径D与天线高的关系见式(20)[9-10]：

式中：4.24为天宝经验值，H1电台的天线高，H2流动站的天线高，a为不同地区的地形条件系数。

当H2=2m时，电台发射的半径与基准站电台天线高及不同地形条件系数的关系如图2所示。其中a取值为0.1～1.0之间，对于山区地形起伏高差越大，其系数越小。

图2 电台信号发射半径与基准站天线高度及地形条件系数的关系

从图2分析可知，当流动站天线高度一定时，电台信号发射半径随着基准站天线高度的增加而增加，并在0～1m之间电台信号发射半径随着天线高度的增加而增加的速度明显，1m～5m之间其速度渐趋平缓。同时，不同的地形条件系数对电台发射半径的影响存在明显差异，地形条件越差(对山区来说起伏高差越大)，其发射半径就限制越大，发射半径越小。根据福建地形条件及工程实践经验，其系数一般在0.2～0.5之间，即当基站电台天线高度为5m时，其电台信号发射半径在3km～8km之间。

4 结论

电力线路勘测具有线路长而窄，电力线路走廊一般通视条件差等显著特点，其定位模式主要为RTK+全站仪模式。一步法应于电力线路RTK放样，从理论上对已知点的数量要求不高，可以平面和高程分开处理，其高程精度与平面精度互不影响。同时，参与配置坐标系的已知点平面坐标精度及高程精度对后期测量及放样点的精度具有近似线性的影响。因此，在实践工程应用中，对已知点的先验精度及可靠性必须做一个良好的检核，其检核方式一般可以通过对已知点坐标进行复测确定。

对于其适用范围而言，一步法在理论上可以达到10km的作业半径，但是受地形条件、电台发射功率及其天线高度的影响，在福建地区的工程实践应用中，其作业半径最大范围在3km～8km之间。因此可以知道，一步法只能适用于小的区域，当超过最大作业范围时，必须重新进行配置坐标系。

[1]GB50548-2010，330kV～750kV架空输电线路勘测规范[S].

[2]黄进航，邱春福.RTGPS在架空送电线路工程测量中的应用[A].2000新技术在工程建设中的应用研讨交流会论文集[C].2000.

[3]费应春，牛其志，詹文超.浅谈GPS定位成果的坐标转换[J].中州煤炭，2009，(6).

[4]孔祥元，郭际明，等.大地测量学基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[5]徐绍铨，等.GPS测量原理及应用[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[6]宫雨生.GPS水准模型及其应用研究[D].辽宁：辽宁工程技术大学，2006.

[7]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[8]武汉测绘科技大学《测量学》编写组.测量学[M].北京：测绘出版社，1996.

[9]张述清，等.GPS RTK技术在地籍测量中的应用研究[J].昆明理工大学学报(理工版)，2007，32(2).

[10]熊忠招，田月娥.浅谈RTK技术几种投影在地形图测量中的应用[J].湖北地矿，2004，18(2).