利用博弈确定分配因子的财富分配模型

潘 秋 惠， 宋 悦 铭， 俞 思 韵， 王 挺， 贺 明 峰

（1.大连理工大学 创新实验学院，辽宁 大连 116024；2.大连理工大学 数学科学学院，辽宁 大连 116024）

0 引 言

只要一个群体中有两个或以上的人，那么财富就存在分配问题.人类社会中有关财富分配的问题涉及一个地区的政治、经济、文化等多个方面，成为国家与社会公众普遍关注的问题.当前财富分配问题的研究也较为广泛.

Dragulescu等从物理学的观点出发，在分配因子固定的情况下，建立了基于Monte Carlo规则的动能财富交换模型[1].Patriarca等也在分配因子固定的情况下，通过保守因子概念，对参与者进行分类，分别对同类和异类现象给出了具体的规则，建立了基于动能交换机制的财富交换模型[2].

另一类关于分配因子的确定是采用随机的方式，Chakraborti等在动能交换机制的基础上，在分配因子随机的情况下，分析了保守因子对参与者最终所得财富的影响[3].Chatterjee等在总人数、总财富量固定的条件下，利用随机分配因子，对每对进行财富交换的参与者加入保守因子，并在每次交易完成后随机改变保守因子大小，研究保守因子对财富分配的影响[4].Gupta提出了一般的交换机制，在分配因子随机的情况下，建立了从两人参与到多人参与，再到带保守因子的财富交换模型[5].Ding等讨论了多人参与时，个别人具有优先性条件下的财富分布问题[6].Chatterjee等在分配因子随机分布的前提下，讨论了保守因子关于不同的函数，在不同的机制下，对财富分配的影响[7].

Cherkashin等提出了一种基于博弈的整体财富分配模型[8]，该模型中每位参与者先将个人财富按个人策略押到事件A上，A发生的概率为q，若A发生，则将押在A上的财富按给定方式重新分配，若A未发生，将其余财富重新分配.本文将基于博弈的整体财富分配方式应用到两人博弈时的财富分配，从而确定相应的分配因子，以此为基础讨论不含保守因子[1]及含保守因子[3]时的财富分配问题.

1 模 型

设有N个人，在t时刻，任选两人i、j.首先进行博弈游戏[8]，二人按各自的策略分别将自己拥有的财富量ωi（t－1）和ωj（t－1）按一定比例押在a、b两种结果上，记Si、Sj为个体i、j的策略，即i个体押a的比例为Si，押b的比例为1－Si，j个体押a、b的比例分别为Sj和1－Sj.该赌局最终发生的结果为a的概率是q，发生的结果为b的概率是1－q.称q为客观影响因子，其一定程度上反映了外在环境对系统的影响作用.二人在博弈结束后根据结果重新进行财富分配.

若最终结果为a，则

同理，若最终结果为b，则

在此模型基础上，又建立了引入保守因子λ的财富交换模型，即二人在博弈中，并未拿出全部财产，而是按比例保留部分财产[3].

同理可得到i、j个体t时刻的财富值

2 结果与分析

2.1 不含保守因子的财富分配

在不含保守因子时，分别取q＝0.2、0.5、0.7.迭代停止时，相应的财富分布结果见图1（R为相应财富值人数占总人数的比例）.

图1 t＝2 000时财富量的分布Fig.1 Wealth distribution at t＝2 000

从图1可见，q＝0.2、0.5、0.7三种情况下，财富量的分布趋势非常相近，表现为占有财富量多的人数很少，说明在现在的交易规则中，大部分人拥有很少的财富，很少的人拥有多数财富，呈两极化状态，这与文献[1]的结论相似.说明就总体财富分布而言，基于博弈的财富交换没有导致新的财富分布规律.这也是这种财富分布规律普遍性的一个体现.

为了讨论博弈对个体财富的影响，下面考察给定q值时，具有不同策略Si的个体的财富分布情况，见图2.

如图2（b）显示，当q＝0.5，个体策略Si趋于0.5时，对应的群体在交易中可获得更多的财富，个体策略Si距离0.5较远的群体在交易中失去较多的财富；同样，图2（a）、（c）中峰值分别位于Si＝0.2和Si＝0.7附近.即财富相对集中于具有与q相趋近的策略的人群中.

综合图1和2可知，当q取不同值时，尽管整体财富的分布趋势基本相同，但群体中拥有财富量多少的人员构成却是不同的，这是博弈作用的体现.

2.2 包含保守因子λ的财富分配

在包含保守因子的模型下，仍取q＝0.2、0.5、0.7，λi＝λ（i＝1，2，…，N）.

取λ＝0.5，此时不同策略的个体的财富分布见图3.

由图3可以看出，在λ＝0.5时，取不同q值，财富量随Si变化的分布与图2的财富分布趋势相似.说明保守因子没有影响策略值越接近q值，财富量越多这个性质.

下面讨论保守因子λ对财富分布的影响，取q＝0.5，λ不同时，财富分布如图4所示.

从图4可见，财富分布的集散程度与保守因子有关，λ越小，财富的分布相对越集中，同等财富值对应横轴上的跨度越小；而当λ较大时，跨度较大，即财富分布在较多的个体手中.且随着λ的增加，个体财富的最大值变小.在迭代终止时，对给定的λ，记个体的最大财富量为ωmax（λ），即的变化趋势见图5.

图2 不同策略的个体的财富分布Fig.2 Wealth distribution of agents with different strategies

图3 λ＝0.5时不同策略的个体的财富分布Fig.3 Wealth distribution of agents with different strategies whileλ＝0.5

图4 q＝0.5时不同策略的个体的财富分布Fig.4 Wealth distribution of agents with different strategies while q＝0.5

图5 ωmax（λ）随λ的变化趋势Fig.5 ωmax（λ）as the function ofλ

从图5可见，在迭代终止时，随着给定λ的不断增大，ωmax（λ）不断减小.说明当保守因子增大时，个体财富的最大值变小.即保守程度的增加使参与交易的财富值份额减少，从而财富在个体之间的交易量减少，这有利于财富的平均分布，不利于财富在少数个体中聚集，这是ωmax（λ）减小的一个原因.

对给定的λ，将个体财富量从大到小累加，记累加值占总财富量20%时的人数为n（λ），n（λ）随λ的变化趋势见图6.

从图6可见，随着λ的不断增大，n（λ）的值不断增大.说明当保守因子增大时，拥有很多财富的人数在减少，表明随着λ增大财富分配相对更加分散.从n（λ）的增长方式可以看出，当λ从较小值开始增加时，n（λ）的增加是缓慢的，说明此时λ增加对财富聚集程度的减少效果是不明显的，而λ从较大值开始增加时，n（λ）增加很快，说明此时λ增加，可有效防止财富的过度聚集.

图6 n（λ）随λ的变化趋势Fig.6 n（λ）as the function ofλ

3 结 论

本文在封闭系统财富交换模型基础上通过引入博弈游戏确定分配因子，分别讨论不含保守因子和包含保守因子两种情形下系统的财富分配.

不含保守因子时，尽管整体财富的分布趋势基本相同，但群体中拥有财富量多少的人员构成却是不同的，这是博弈作用的体现.

包含保守因子时，财富分布的集散程度与保守因子有关，且保守因子越小，财富的分布相对越集中，随着保守因子增大财富分配相对更加分散.这主要是由于当保守因子增大时，个人财富的最大值变小.即保守程度的增加使参与交易的财富值份额减少，从而财富在个体之间的交易量减少，这有利于财富的平均分布，不利于财富在少数个体中聚集.

[1] Dragulescu A， Yakovenkoa V M. Statistical mechanics of money [J].The European Physical Journal B，2000，17（4）：723－729.

[2] Patriarca M，Heinsalu E，Chakraborti A.Basic kinetic wealth－exchange models：common features and open problems[J].The European Physical Journal B，2010，73（1）：145－153.

[3] Chakraborti A， Chakrabarti B K. Statistical mechanics of money：How saving propensity affects its distribution[J].The European Physical Journal B，2000，17（1）：167－170.

[4] Chatterjee A，Chakrabarti B K，Manna S S.Pareto law in a kinetic model of market with random saving propensity[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2004，335（1－2）：155－163.

[5] Gupta A K.Relaxation in the wealth exchange models[J].Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2008，387（27）：6819－6824.

[6] DING Ning， WANG You－gus，XU Jun，etal.Power－law distributions in circulating money：Effect of preferential behavior[J].International Journal of Modern Physics B，2004，18（17－19）：2725－2729.

[7] Chatterjee A，Sen P.Agent dynamics in kinetic models of wealth exchange[J].Physical Review EStatistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2010，82（5）：056117.

[8] Cherkashin D，Farmer J D，Lloyd S.The reality game [J].Journal of Economic Dynamics and Control，2009，33（5）：1091－1105.