一类线性脉冲微分系统的变差稳定性

李宝麟， 王倩倩

(西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070)

0 引言

考虑一类线性脉冲微分系统：

(1)

3)Bi∈L(Rn)，ai∈Rn，i=1,2,…,k且I+Bi可逆，I为n阶单位矩阵.

作者在文献[1]工作的基础上讨论了线性脉冲微分系统有界变差解的稳定性，建立了变差稳定性和渐近变差稳定性的Lyapunov型定理.这是对文献[2]中一类不连续系统有界变差解的变差稳定性结果的本质推广.

由于稳定性不是系统单个解的性质，而是其所有解的共同性质，向量值函数P(t)并不影响这个性质[3]，因此系统(1)的变差稳定性等价于系统

(2)

的变差稳定性.

1 预备知识

设[a,b]为实有限区间，Rn为实n维欧式空间.x:[a,b]→Rn为[a,b]上的向量值函数.对x∈Rn，‖x‖为Rn上的欧式范数.

定义1[1-2,4]函数x(t)在[a,b]上是Henstock可积的，如果存在A∈Rn，对任意的ε>0，存在正值函数δ(t):[a,b]→(0,+)，使得对[a,b]的任何δ-精细分划D:a=τ0<τ1<…<τk=b及{ξ1,ξ2,…,ξk}满足ξi-δ(ξi)<τi-1≤ξi≤τi<ξi+δ(ξi)，i=1,2,…,k，有记x(t)在[a,b]上的Henstock积分为x(t)dt=A.

设c>0，令Bc={x∈Rn,‖x‖

定义2[1]设函数f:G→Rn为 Caratheodory函数，f∈V(G,h,ω)，如果f(t,x)满足下列条件：

1)存在正值函数δ:(ti,ti+1]→R+，(ti,ti+1]⊂[t0,T]⊂(a,b)，i=0,1,…,k-1，对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂(ti,ti+1]及x∈Bc有‖f(τ,x)(v-u)‖≤h(v)-h(u)；

2)对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂(ti,ti+1]，以及所有的x,y∈Bc有‖f(τ,x)-f(τ,y)‖(v-u)≤ω(‖x-y‖)(h(v)-h(u))；

3)对每个定义在(ti,ti+1]⊂[t0,T]⊂(a,b)上的阶梯函数ψ(t)，f(t,ψ(t))在(ti,ti+1]，i=0,1,…,k-1上是Henstock可积的.

其中,h:[t0,T]→R是定义在[t0,T]上的单调增加左连续函数，而ω:[0,+)→R是连续增函数，且ω(r)>0(r>0)，ω(0)=0.

对x∈Rn，t∈R+，令f(t,x)=Q(t)x，若(t0,x0)∈(a,b)×Bc给定，对任意的[u,v]⊂[t0,T]⊂(a,b)，x∈Bc，t∈[u,v]，t≠ti,i=1,2,…,k，有

‖f(t,x)(v-u)‖ =‖Q(t)x(v-u)‖

=h(v)-h(u),

对任意的[u,v]⊂[t0,T]，x,y∈Bc，t∈[u,v]，t≠ti,i=1,2,…,k，有

‖f(t,x)-f(t,y)‖(v-u) =‖Q(t)x-Q(t)y‖(v-u)

=ω(‖x-y‖)(h(v)-h(u)),

这里ω:[0,+)→R，ω(r)=r,r>0.

对定义在(ti,ti+1]上的阶梯函数ψ(t)，则ψ(t)必为有界变差函数，因此f(t,ψ(t))=Q(t)ψ(t)在(ti,ti+1]，i=0,1,…,k-1上是Henstock可积的，则可知f(t,x)∈V(G,h,ω).

对任意的t∈[t0,T]，t≠ti,i=1,2,…,k，有f(t,0)=0，称函数x(t)=0是系统(2)在[t0,T]上的零解.

引理3[1]设f(t,x)∈V(G,h,ω)，且(t0,x0)∈G，则一定存在δ>0使得系统(2)在区间[t0,t0+δ]上存在满足x(t0)=x0的有界变差解x(t).

定义5若系统(2)的零解既是变差稳定的，又是变差吸引的，则称系统(2)的零解是渐近变差稳定的.

引理5[2,5]设[a,b]⊂R+，f,g:[a,b]→R是在(a,b]上的左连续函数，如果对任意的σ∈[a,b]，存在δ(σ)，使得对任意η∈(0,δ(σ))，有不等式f(σ+η)-f(σ)≤g(σ+η)-g(σ)成立，则对任意s∈[a,b]有f(s)-f(a)≤g(s)-g(a).

引理6设有函数V:R+×Rn→R，对任意x∈Rn，V(·,x):R+→R在(0,+)左连续.进一步，设以下条件成立：

1)对任意x,y∈Rn，常数L>0，有

|V(t,x)-V(t,y)|≤L‖x-y‖；

2)对系统(2)在[t0,T]⊂[a,b]上的每个解x(t)，当(t,x)∈R+×Rn，t=ti，i=1,2,…,k时,有

3)存在实函数Φ:Rn→R，使得对系统(2)在[t0,T]上的每个解x(t)，(t,x)∈R+×Rn，t≠ti，i=1,2,…,k，有

当(t,x)∈R+×Rn，t≠ti时，有

(3)

当(t,x)∈R+×Rn，t=ti时，有

(4)

2 主要结果

V(t,x)≥b(‖x‖)，

(5)

V(t,0)=0；

(6)

‖V(t,x)-V(t,y)‖≤L‖x-y‖；

(7)

证明由于对系统 (2)的每个解x(t)，t∈[t0,T]，t≠ti，i=1,2,…,k，函数V(t,x)是不增函数，所以有

(8)

又由(4)、(6)、(7)式，对任意的t∈[t0,T]，t=ti，有

(9)

V(t,y(t))<2Lδ(ε)<3Lδ(ε)<α(ε)，t∈[t0,T]，t≠ti；

(10)

由(9)式，有

(11)

与(10)、(11)式矛盾.因此对所有的t∈[t0,T]，有‖y(t)‖<ε，由定义 3 可知系统(2)的零解是变差稳定的.

证明由已知条件可得，函数V(t,x(t))对系统(2)的每个解x(t)是不增的，又由定理 1可知，系统(2)的零解是变差稳定的.因此根据定义5，只需证明系统(2)的零解是变差吸引的.

(12)

≤L‖y(t0)‖-Lδ0

<3Lδ0+W(s′-t0)

<3Lδ0.

参考文献：

[1] 李宝麟，吴卫红.一类固定时刻脉冲微分系统的有界变差解[J]. 西北师范大学学报：自然科学版，2009，45(4)：1-5.

[2] 李宝麟，尚德泉. 一类不连续系统的变差稳定性[J]. 西北师范大学学报：自然科学版，2006，42(2)：15-18.

[3] Ashordia M, Kekelia N. On effective sufficient conditions for stability of linear systems of impulsive equations[J]. Mem Differential Equations Math Phys,2003,28：147-151.

[4] 吴从析，李宝麟. 不连续系统的有界变差解[J]. 数学研究，1998，31(4)：417-427.

[5] Schwabik S. Generalized Ordinary Differential Equations[M]. Singapore：World Scientific，1992:329-348.