基于最大后验估计的自适应盲均衡算法

耿天玉，舒 勤，应大力

（四川大学 电气信息学院，四川 成都610065）

0 引 言

在通信系统中，信道失真导致接收信号存在码间干扰（inter symbol interference，ISI）是非常普遍的现象［1－4］，能够造成信号的判决错误从而影响了通信质量，为了确保能接受到质量较高的通信信号，在信号的接收端需要一种有效的信号处理方法来减小或者消除码间干扰对通信信号产生的影响，这样的方法叫做信道均衡技术。传统的自适应均衡技术需要使用训练序列，占用了大量的信道资源，从而降低了通信的有效通信率。与传统自适应均衡技术相比，盲均衡技术不需要发送训练序列，节省了系统宽带，信道利用率得到提高，因此备受关注。

盲均衡算法主要分为三大类，即Bassgang类算法，高阶或循环统计量算法，非线性均衡算法。其中Bussgang类算法采用横向滤波器，选取合适的代价函数后，得到的误差函数通过随机梯度算法对均衡器的权向量来进行调整，使得代价函数最小化，此时输出信号序列接近于发送信号序列［5］，当代价函数达到极值点时，系统就成为理想的系统。由于Bussgang类算法鲁棒性强，原理简单，易于实现，一直以来都是研究的热点。Bussgang算法中比较经典的算法是CMA算法，它具有许多优点，但也存在一些不足，如对高阶QAM信号的均衡效果比较差，剩余误差较大，而且无法修正相位的偏移［6－8］。后来S Chen将最大后验概率的思想融入到Bassgang盲均衡算法中，得到了MAP盲均衡算法［9］。该算法用输出信号的最大后验概率密度函数作为代价函数的参数，根据最斗下降随机梯度方法进行迭代，更新均衡器的权向量，具有稳态误差小，星座图恢复得紧凑等优点，但也存在一系列问题，即收敛速度不够快，并且算法分阶段执行，复杂度上升。本文在MAP算法的基础上研究了一种改进算法，即提出了一种自适应σ的盲均衡MAP算法，经过仿真证明该算法解决了MAP算法收敛速度慢的缺点，同时得到剩余根均方误差要小于MAP算法。

图1 盲均衡原理

1 对盲均衡系统模型的描述

图1表示的是盲均衡原理框图［10－11］。该系统的通信过程可以描述为：发送端从有限字符集S（S定义为式（1）［12］）去通过对数据等概率取等到的，｛x（n）｝为发送信号序列，｛h（n）｝为某一未知离散时间信道， ｛n（n）｝加性高斯白噪声，｛r（n）｝为盲均衡器的接收信号序列；｛r（n）｝在均衡器 ｛w（n）｝的作用下，得到输出信号序列｛y（n）｝。

设x（k）表示第k个发送信号，r（n）表示接收端的第n个接收信号，则

因为码间干扰对系统的影响远远大于噪声的影响［13］，故研究中只专注于如何通过盲均衡消除码间干扰，而不考虑噪声的影响。所以式（2）简化成

h（n）和x（n）对于接收端都是未知的，接收端在接收到r（n）后，希望能由它求得 ｛h（n）｝或者对应的x（n），这和反卷积的思想是一样的。

2 MAP盲均衡算法的描述

MAP估计的目的是要得出均衡器输出信号最有可能由信号星座符号集里的哪个符号点通过信道后而得到，MAP盲均衡算法的核心思想就是通过最大化均衡器输出信号的后验概率密度函数来获得均衡器抽头权向量的最优值。

以下分析中假设信号星座图对于接收端是已知的。均衡器的输出信号y（n）可以近似表示为

式中：t（n）＝x（n－ni），正整数ni——的是时延值。v（n）——零均值，方差——σ的高斯噪声。这样，y（n）可以用M个高斯信号来近似表示。每个高斯信号的均值εkl对应等于星座中的某一符号点skl，即

每个高斯信号的方差即为σ，因此y（n）可以等效表示为如下的随机过程

即

其中pkl（1≤k，l≤Q）都相等，等于1/M。

这样，y（n）的后验概率密度函数可以表示为

设

则MAP盲均衡的代价函数可表示为

利用最陡下降的随机梯度方法，均衡器抽头权向量值通过下面的迭代式子进行更新

为了加快收敛，减小算法的复杂度，MAP均衡算法对星座区域进行划分，分阶段执行。每一阶都只使用对应区域中的4个高斯信号，即等效为4QAM的情况，迭代式变为

对于MQAM信号一般上述过程持续进行直到第H阶段，H＝log4M，成功执行完之后，信号星座图就成功被恢复了［12］。这是因为上述每个阶段的调整子任务都能非常快而且可靠的完成，因此均衡器权向量能够更快更可靠地实现收敛。需要注意的是，每个调整阶段，都只用到了4个高斯信号，不同的是每个阶段的对应εkl，1≤k，l≤2。

MAP盲均衡算法涉及到主要的参数μ和σ。迭代步长μ的选择MAP算法的收敛性能的影响也很重要，在MAP算法中，迭代步长μ是固定的，如果μ值选取过大，则均衡器抽头权向量的每次调整量就很大，这样能够帮助算法得到比较快的收敛速度，但是当均衡器权向量值接近最优解时，这样大的调整量就会使得权向量在最优解附近范围以较大幅度上下摆动而无法实现进一步的收敛，从而使得算法的稳态剩余误差很大。相反如果μ值选取过小，则均衡器权向量的每次调整量就很小，尽管这样会得到比较小的稳态剩余误差但算法收敛速度会比较慢。一般对μ取经验值，在这里选取μ＝0.0003.而对于σ值得选取，每个阶段的σ应该有比较明确的区分，一般对σ按经验值选取。不同阶段宽度对MAP盲均衡算法的收敛性影响不同，σ按经验值选取，第一阶段σ＝0.8，第二阶段σ＝1.6，第三阶段σ＝0.6。

MAP算法具体稳态剩余均方误差小，没有相位偏移，对高阶QAM信号能达到良好均衡效果等优点，但σ在算法中取固定值，限制了算法的性能，固在本文中则提出了一种自适应的σ算法来提高算法的性能。

3 对MAP算法的改进

根据上面对MAP算法的分析可知，MAP盲均衡算法中σ的选择是靠经验值来确定的，但是根据概率论的原理，σ表示的实际意义是输出信号和相应星座符号点之间的偏差，因而直接就规定其值有失准确；同时，由于算法是分阶段执行的，每一阶段的σ都不一样，而且当系统中其它条件发生了改变，相应的σ值也有可能需要改变来得到较好的收敛效果，因此为了得到这些σ的经验值，需经过大量的实验，算法复杂度增加。如果能得到让σ自适应调整的方法，上述问题就能得到解决。

再者，MAP盲均衡认为y（n）由区域内每个星座符号点通过信道产生的概率是相等的。因为均衡刚开始时所有的信号都是杂乱散布的。但是当均衡逐渐达到收敛的时候，均衡器的输出y（n）会越来越靠近发送信号，这时可以认为离y（n）越近的星座符号点，y（n）由它通过信道而产生的概率越大。当算法最终收敛时，几乎可以认为y（n）就是由离它最近的星座符号点产生的。这时还认为概率是相等的话，在原理上是有失准确的。

根据上述分析思想，对MAP盲均衡算法重新描述如下：

由于MAP盲均衡算法是分阶段执行的，前H－1阶段所使用的高斯信号对应均值都不是发送信号星座中的符号点，只有最后一阶段采用的高斯信号对应的均值才是发送信号星座中的符号点。因此设的Dn＝｛εm，m＝1，2，3，4｝，Dn为相应执行阶段中划分出的第n个区域，εm为该区域对应的高斯信号的均值。则y（n）～N（εm，σm）以概率pm。

当均衡器的输出信号y（n）∈Dn时，则y（n）的后验概率密度函数可局部近似为

为了确保快速收敛，防止算法发散，设

则算法的代价函数可表示为

利用最陡下降的随机梯度方法，ws均衡器抽头权向量值通过下面的迭代式子进行更新

当σm和pm分别都取固定等值时，式（17）就退化成式（12）所示的MAP盲均衡迭代式。下面来探讨σm和pm的自适应调整方法。

根据概率论的知识，高斯信号以其均值为对称轴，方差值越大，则数据分布越分散，方差值越小，则数据越集中在均值附近。

在算法执行的初期，数据分布是非常分散的，这时方差值应该相对比较大，算法收敛后，数据集中在相应的准值附近，这时的方差值应该相对比较小。可见每个高斯信号的方差值σm的变化趋势都是一样的，随着信号星座的逐渐恢复而减小（星座越分散，σm越大，星座越紧凑，σm越小）。设

星座的紧凑程度可以用｜y（n）－d ［y（n）］｜2的大小来表示，根据前面的分析，设

同时考虑通过y（n）离区域内各个星座符号点的距离来确定它们的概率。距离越近概率越大，当距离为零时概率为1.也就是说概率随距离单调递减。

用符号表示如下：

设Dis＝｜y（n）－εm｜2

则pm应满足以下3个条件

其中m，n∈ ［1，2，3，4］事实上，第三个条件，不必要这么严格，因为即使均衡收敛得很完美，Dism也不会为0，只会非常接近0.当均衡收敛到一定程度的时候，当Dism比较小的时候我们就可以认为对应的pm为1.仿真时取Dism≤0.05。

故设计pm和Dism的关系为

算法的更新迭代式为式（21）所示，其中的pm采用式（20）进行更新，σm采用式（19）估计。于是迭代式简化为

4 计算机仿真与性能分析

4.1 性能分析

我们一般是通过研究算法误差函数的稳态幅度来分析算法的稳态调整量，而改进后的MAP算法的误差函数的稳态幅度和MAP盲均衡算法类似，是

通过上面的分析，可知自适应σ的MAP盲均衡算法，理论上的稳态调整量为0，比MAP算法的稳态调整量要小。

一般算法收敛后，理想状态下，y（n）＝x（n－ni），x（n－ni）所在的星座符号点的概率为1，区域内其他星座符号点的概率为0。

于是，根据式（21）和上面的所做的理论分析可知，算法的误差函数稳态幅度是

4.2 仿真结果

本文采用的评价标准是算法的收敛速度和稳态剩余误差。文献 ［14－15］中采用的性能指标是MSE，定义为

其中Q ［y（n）］是y（n）的判决值，定义如下

本文对式（24）稍作修改，得到根均方误差（root mean square error，RMSE）指标，如式（26）所示，算法的收敛速度和稳态剩余误差通过RMSE曲线来分析，因此本文中的稳态剩余误差代表的实际意义是稳态剩余根均方误差

本文通过matlab仿真来比较改进后自适应σ的MAP算法与MAP算法的性能。仿真中，发送信号取自64QAM信号集，取发送信号的长度N＝5000，均衡器的阶数K＝11，信噪比SNR＝40，均衡器抽头权向量初始化为：中心抽头值为1，其余为0，信道为典型的电话信道［15］

Num＝50（即每50个点取一次RMSE）。

图2采用64QAM信号，根据前面分析MAP有两个重要的参数，一般对σ和μ按经验值选取。本文中μ＝0.0003，由于不同阶段宽度对MAP盲均衡算法的收敛性影响不同，σ按经验值来选取，第一阶段σ＝0.8，第二阶段σ＝1.6，第三阶段σ＝0.6。自适应σ的改进 MAP盲均衡算法也取μs＝0.0003，每阶段的宽度选取和 MAP盲均衡一致。由图可知，自适应σ的MAP盲均衡算法，稳态剩余根均方误差值小于MAP盲均衡算法，收敛速度快于MAP盲均衡算法。

图2 概率和自适应σ的MAP盲均衡与MAP算法比较

5 结束语

通过MAP盲均衡算法的分析，MAP算法中有两个很重要的参数μ和σ，一般都是按经验取固定值，而本来则提出把σ进行改进，从而提出了一种改进的基于最大后验估计的盲均衡算法。改进算法运用不等概的思想，通过改进自适应σ，最终得到基于概率和自适应的σ的MAP盲均衡算法，仿真结果表明该算法的稳态剩余根均方误差值小于MAP盲均衡算法，收敛速度也快于MAP盲均衡算法。

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