反证法的逻辑原理及应用

陈勇涛

摘要： 数学的发展依赖于逻辑的应用，逻辑学为人类提供了可靠的证明方法。巧妙的证明让数学熠熠生辉。本文着重于反证法的介绍及其在中学阶段的应用。而关于逻辑的部分仍要从三段论讲起。

关键词： 反证法逻辑原理应用

一、三段论的格

作为一门古老的学科，逻辑已有两千多年的历史。所谓逻辑就是一种能够保留预设真值的推理方法。作为逻辑的基础，我们当然不能忘记亚里士多德和他的三段论。然而关于三段论人们还是广泛存在着误解。

通常人们所言的三段论并非完全意义上亚里士多德的理论，就如同中学课本中的几何公理化体系与《几何原本》相差甚远一样，生活中最常见的三段论只是亚里士多德所划分的二十四个式中的一种形式，而亚里士多德的成就更多体现在《后分析篇》中关于公理化的研究，这一点离大众过于遥远，在此不作讨论。

更重要的是，人们对于直言三段论的基本形式过于忽略，而这种形式对推理有决定性的作用，请看下面两个例子。

推理1推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三叶草是植物 三叶草需要水

所以三叶草需要水 所以三叶草是植物

这两个推理都正确吗？尽管前提都正确，结论就常识而言也没有错，但是从逻辑角度看，推理2是错误的，因为从“三叶草需要水”推出“三叶草是植物”其实证据不足，如推理1所示，正确的推理形式是这样的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

这就是基本的逻辑定理，其中1、2称为前提，3称为结论。正确的形式为前提1的主项是前提2的谓项，其余词项组成结论，此时前提的真值必然决定结论的真值。这种形式称为三段论的格，用Venn表示如图1，C是A的子集是很明显的。

图1

反观推理1与推理2，我们在应用三段论时一定要严谨。其实很多结论不严密的推理大多都犯有词项位置的错误。

二、反证法的原理

反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛使用。它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。最基本的事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。

在反证法中，我们把待证的结论的反面作为一个前提，依据正确的三段论原理推理，并最终寻找出与现实的直观矛盾或于理不符之处。而结论的真假由前提而定（前文已论述），这个矛盾说明假设有误，因此它的反命题（即待证命题）是正确的。

三、反证法在中学阶段的应用

以上叙述了逻辑推理的基础和反证法的原理，下面是关于反证法应用的讨论。

中学阶段中，反证法在几何中的应用并不多见。然而，平面几何中的反证法却妙不可言，它们精妙的构思令人赞叹，阿基米德甚至用此法证明了圆的面积计算公式。在此我摘录《原本》中的一个命题为反证法的一个例子。

如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。

设：圆ABC与圆CDG相交与B、C两点（如图）。

证明：假设有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG，

因为G为圆ABC的圆心，所以EC等于EF，

又因为E为圆CDG的圆心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整体（违背第5公理）这不可能。

所以：E不是圆ABC、CDG的圆心。

所以：两圆相交不可能有圆，证完。

另一个例子来自图论，有过竞赛经历的人对此模型是非常熟悉的。

两人或两人以上的人群中，人们互相与熟人握手，那么至少两个人的握手次数相同。

证明：以人为顶点，仅当两个人握手时，在此二人间连一边，构成一个图G（V，E），设V=［V，V，…，V］，不妨设各项的度数为d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等号皆不成立，则有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，则每个顶点皆与v相邻，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n与d（v）=n-1相违.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，与d（v）＜n-1相违，故假设不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一处等号成立，即至少两个人握手次数相同，证完。

通过两个例子的展示，反证法行之有效的特点一目了然。不过反证法构造的技巧性是有难度的。因此我在这里总结中学数学中反证法的常用场合。

（1）命题以否定形式出现；

（2）唯一性的命题；

（3）命题结论中有“至多”，“至少”的形式；

（4）命题结论涉及无限集；

（5）命题结论的反面较结论本身更为具体、简明，但更为重要的是多动脑筋，勤总结，在2011年陕西高考理科数学最后一道大题中考查了反证法技巧，可见古老而重要的技巧在新课改中仍受到极大关注，值得教师对此做一定的研究，并让学生有所领悟。