非得用直角边画吗

在教学“画平行线”这一课时，教师一贯采用的方法是：先让学生观察教科书上用工具画平行线的步骤与具体画法，或先观察教师用直尺和三角尺示范画一组平行线，再仿照画出一组平行线，并交流、总结出画平行线的步骤和方法。另外，教师还很用心地用四个字概括画平行线的过程：“1.贴。用三角尺的直角边贴紧已知直线；2.靠。用直尺靠紧三角尺的另外一条直角边；3.移。沿直尺移动三角尺；4.画。沿三角尺的直角边画出已知直线的平行线。”

无论采用什么教学方法，教师无一例外地都强调“三角尺的一条直角边与已知直线完全重合，直尺靠紧另外一条直角边”，这一根深蒂固的方法，除了因为教师自己也是这样学的，还有一部分原因是因为教材也是这样编写的，教师对教材的无条件服从也导致了这一现象的发生。

但是，一个学生在课堂上不经意的一句话，颠覆了很多教师对“画平行线”的认识。

一、情景回放

一名教师按照“教师示范画法—学生表达过程—师生总结步骤—学生尝试练习”的常规课堂模式执教这节课。同时也强调：要利用三角尺的直角边。前面环节风平浪静，但是在学生尝试练习环节，一个学生突然高高地把手举起：“老师，我不用直角边也能画出平行线！非得用直角边画吗？”很明显，这个学生的问题超出了教师的课堂预设，也大大出乎听课教师的预料，但教师采取了回避的态度：“你很有探索精神，老师很欣赏你。”只评价了学生的学习态度，而未对方法作出肯定。

评课环节中，经过静心思考，教师都一致认为，一句“非得用直角边画吗”中，藏着非常可贵的数学思想的火花。这个学生首先善于思考，其次敢于质疑，这是在很多数学教师身上都没有的数学品质。

基于学生的问题，笔者也对“画平行线”进行了深入研究。下面是现行三个主要版本教材中所呈现的 “画平行线”的过程。

可以看出，在各版本教材呈现图中，虽然用以作为平移标尺的工具不同（人教版和苏教版用的是直尺，北师大版用的是两块三角尺中的其中一块），但是，在画平行线的主要步骤中，都是利用三角尺的一条直角边与已知直线完全重合，另一条直角边与平移标尺靠紧进行平移。

由学生的质问，笔者罗列出利用三角尺画平行线的所有方法（用直尺作为平移标尺），见下图。

除了方法①②是课本给定的方法外，方法③④⑤一样可以顺利画出平行线。由于课本局限于利用三角尺的两条直角边去画，反而会造成一些问题。

二、教学思考

【存在问题一】人为加深学习难度

“画平行线”是整个小学阶段的难点，四年级学生还不能自如地操作两件工具，同时，画平行线的步骤繁多也使学生增加了记忆过程的难度。如果再一味强调要使用三角尺的两条直角边，更是人为加深了学生的学习难度。在教学传统的用直角边画平行线的过程时，笔者常发现很多学生手拿三角尺不停地旋转，不知所措。这是因为四年级的学生空间观念发展不够全面，虽然能顺利找到三角尺中的直角边，但是当需要把直角边放在固定位置并利用另外的直角边时，存在较大困难。教材只强调用直角边画平行线，使原本就繁多的步骤又添上了不必要的过程，加深了学生学习的难度，加重了学生负担。

【教学建议】 笔者进行了教学尝试，通过引导学生利用“平移”的性质去画平行线，而不局限于只利用直角边去画，教学过程如下。

出示 ，引导学生找平行线，初步感知“平移能得到平行线”。

师：同学们，刚才的题目告诉我们：三角形通过平移后对应的边互相平行。我们还可以利用刚才的重要发现画平行线呢！

师：想一想，用这个发现画平行线，你认为需要什么工具？

生：三角尺。

师：为什么要用三角尺？

生：因为我们可以通过三角尺的平移画出平行线。

师：只用三角尺就可以吗？（教师拿三角尺随意地挪动了一下）这样能保证是“平移”吗？

生：还需要一个东西靠着三角尺。

生：需要一个直直的东西。

师：那这个直直的东西我们可以用什么呢？

生：可以用数学课本的边。

生：可以用三角尺。

生：可以用直尺。

师：数学课本的边、三角尺、直尺的作用是什么？

生：让三角尺沿着直的边滑动，才能保证三角尺平移。

师：你能试着结合平移的思想用三角尺和直尺画出一组平行线来吗？

教师展示学生常见画法。

师：你能尝试总结画平行线的过程吗？

学生讨论、汇报，教师补充，共同总结出画平行线的步骤与方法：可以先沿三角尺的一条边画一条直线，再用直尺贴紧三角尺的另一边，把三角尺平移，然后仍沿三角尺的原来一边画一条直线。

师：恭喜同学们，利用自己灵活的大脑不仅研究出那么多画平行线的方法， 还知道为什么要这样画。下面，我们通过一道习题检验一下自己的新本领。

出示：过A点画已知直线的平行线。

笔者对学生完成情况整理反馈，发现学生成功率高，完成速度快，收到了良好的效果。

【存在问题二】不能衔接后续学习

平行线有一个重要性质——“两直线平行，同位角相等”，反过来“同位角相等，两直线平行”也是平行线判定的一条重要依据。同时这也是用直尺与三角尺画平行线的一个重要的理论基础。教师可以把直尺想象成与平行线相交的一条直线，把三角形平移前后的两个内角看成平行线中的同位角。教材中，只强调用三角尺的直角边去画平行线，其实只考虑到“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一特征，容易给学生留下“只有同位角为直角时两条直线才是互相平行”的固有印象，影响学生的后续学习。

【教学建议】从教师与教材的角度来看，小学阶段的教材可以说是孤立的，小学教师一般也只从事小学阶段教学工作。但是，对数学知识体系和学生的发展而言，这个过程却是连贯的、持续的。如果不考虑知识与学生的发展，会让学生产生数学不严密的误解，这与“数学是严密的科学”的本质是相悖的，同时也会造成不必要的教育资源浪费。

对于学生所掌握的“画平行线”的方法来说，“平移可以得到平行线”是重要的；同位角相等，两条直线平行的数学结论是重要的；非得利用三角尺的两条直角边画平行线是不重要的。所以，对于“画平行线”的教材安排，笔者的粗浅建议是：画平行线有方法，但不要拘泥于一种方法。

德国数学家康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”在“画平行线”自由的方法里，有数学严密的逻辑之美，有学生飞扬的思想之美，又何乐而不为呢？

（江苏省徐州市丰县教育局教研室 221700）