在多维学习中实现数学素养的综合提升

2001年颁布的《数学课程标准（实验稿）》调整了数学学科的结构，在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域，设置这一领域的目的是为学生提供进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道，引导学生综合运用“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”等知识和方法解决问题，培养学生应用意识和实践能力，帮助学生积累数学活动经验，在多维学习中实现数学素养的综合提升。“实践与综合应用”领域的设置是这一轮课程改革的一大特色，但在前十年课程改革的教学实践中，部分教师对这一领域的内容要求及教学方式还不是非常明确，也经常出现忽视、简单化处理等现象。

在十年课改实践的基础上，《数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011版）》）对这一领域进行了进一步的修订完善，首先，是将原来三个学段的“实践活动”“综合应用”“课题学习”的名称作了统一，统称为“综合与实践”；其次，进一步明确了“综合与实践”的目的和内涵，《标准（2011年版）》在“课程设计思路”中指出：“‘综合与实践’是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。”同时在“教学建议”中又指出：“它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。”另外，《标准（2011年版）》在“课程内容”中重新阐述了三个学段的内容和要求，明确了三个学段的不同要求，突出了不同学段的特点，如第二学段的具体内容和要求：“经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动；结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程；在给定目标前提下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程；通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。从上述内容要求可以看出，尽管《标准（2011年版）》将“综合与实践”作为一个独立的学习领域，但并不是在三大领域之外新增的数学知识，而是突出数学学习的综合性、实践性、探究性和开放性，通过这一领域进一步强化数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，引导学生充分经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，引导学生综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。

《标准（2011年版）》指出：“‘综合与实践’的教学，重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。”同时，《标准（2011年版）》还指出：“‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。”因此，教学实践中，教师要根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，拓展课程渠道和实施路径，合理设计并组织实施“综合与实践”学习活动，在多维学习中实现数学素养的综合提升。

一、开展以问题为载体的项目探究型活动，引导学生积累“从头到尾”思考问题的经验

数学教学中“综合与实践”学习活动的开展可以有多种形式，根据《标准（2011年版）》的要求，以问题为载体的项目探究型活动应是“综合与实践”学习活动的基本形式，应当保证每学期至少一次，如标准中提到的“分扣子”“绘制校园平面图”“旅游计划”“象征性长跑”等，再如“正方体的截面可能是几边形”“栽蒜苗”“一块近似于梯形的水田面积的测量计算”等，这类活动往往无法简单地应用已知信息直接解决问题，需要经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，需要学生收集相关材料，需要对信息进行加工，需要小组合作交流讨论，从而促进学生不断积累“从头到尾”思考和解决问题的经验。

以问题为载体的项目探究型活动的设计和组织要把握好几个关键，一是设计具有一定挑战性和综合性的问题。问题要与学生所学的知识和生活经验相结合，要关注数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，要适合学生的年龄特点，要能激发学生充分、自主地参与活动。问题既可来自教材或教师，也可以由学生发现和提出。二是组织学生设计好探究活动的方案，策划好研究过程，学会“从头到尾”想问题。三是要为学生提供充分的进行实践、思考、交流的空间，重视激发学生自主参与、全过程参与，重视学生的学习成果展示，重视学生的自我评价、反思与总结。

案例1：“漏水实验”活动设计

1.引导学生从漏水现象中发现和提出问题：一个没有拧紧的水龙头，一年会漏掉多少水呢？

2.组织学生讨论、设计实验方案。

通过组织学生讨论，引导学生思考得出：要知道“一年会漏掉多少水”，可以先测量“一分钟漏掉多少水”，再通过计算得出。然后引导学生设计具体的实验方案，准备实验工具，设计相关的记录表格等。

3.按照实验方案进行实验，并通过计算得出“一年会漏掉多少水”，撰写实验报告。

4.组织学生交流实验结果，讨论相关问题。

首先组织学生交流实验结果，分享实验过程的经验体会。再引导学生根据实验数据讨论相关问题，如一分钟漏掉的水如果装在矿泉水瓶中，大约有几瓶？如果每人每天喝水2升，一个水龙头一年漏掉的水够多少人喝一天？最后可以呈现一些与节约用水相关的材料，引导学生体会节约用水的必要性。

5.引导学生反思和评价。

组织学生对实验方案的可行性、小组分工的合理性、实验过程的科学性等进行反思、评价。

上述“漏水实验”的活动，引导学生充分经历“从漏水现象发现问题、提出问题—设计实验研究漏水量—进行交流分享，结合研究结果讨论、提出建议—自我反思和评价”的过程，即经历“从头到尾”思考问题的全过程，在这样的过程中，学生自始至终有思维的介入，有理解能力、交流能力、搜集和处理信息能力等多种能力的共同作用，能有效促进学生数学素养的综合发展。

案例2：“正方体的截面可能是几边形”实验报告

1.实验的起因

老师先让我们动手切一个正方体，观察截面可能是几边形？

2.实验的过程

我用西瓜切出八个小正方体作为实验材料。

我想，切出的这个截面一定可以是三边形或四边形，也可能是五边形、六边形、七边形……到底能不能切出这么多种形状，试试看！

先从三角形开始想，把正方形的一个角切去，截面就是一个三角形。（见图1）

然后是四边形，能切出正方形截面吗？能，从任何一个面垂直切下去都可以得到正方形的截面（见图2）。

我又试了试，还能切成长方形。从两个相对的面斜一点切下去，还要保证切的时候上下两个底面下刀的地方边长相等。（见图3、图4）

在切的时候，如果上面的边切短一些，下边长一些，就能得到一个梯形。（见图5）

我接着想，能不能切出五边形？我们切了半天终于切了出来。用刀经过五个面，就能切出五边形，我想是不是用刀经过六个面就能切出六边形呢？果真切出了六边形。（见图6、图7）。

那能不能切出七边形、八边形呢？我反复地切都没能切出来。

3.实验的结论

切出的截面有三角形、四边形（正方形、长方形、梯形等）、五边形、六边形。正方体截面最多能得到六边形，不可能有七边形、八边形。因为这些截面的边都在正方体的表面上，而且一个面只有一条边，正方体只有六个面，所以截面最多只能有六条边。

4.实验的联想

正方体能切出这些形状不同的截面，那圆柱体、圆锥体还能切出什么样的图形呢？

太好玩了，我们以后还要接着做这样的实验。既能玩，又能让我们学到知识。

上述案例是北京市海淀区上地实验小学的一位学生开展的一项“综合与实践”学习活动后写下的实验报告（注：案例选自《新世纪足迹2008》，学生的实验报告中原有实际切成的西瓜的照片，因照片不是很清晰，所以只留下示意图）。学生的探究过程很精彩，从这份报告中，我们可以看到，学生经历了“提出问题——设计实验，准备材料——进行实验，逐步探索——分析实验情况，得出结论”的“从头到尾”的研究问题的全过程，这名小学生勤于动脑、善于观察、坚持不懈，使实验得以成功，这样的研究活动无疑能促进学生知识的综合应用、研究问题能力的提高，培养学生的创新意识和实践能力。

二、精心设计“实践性作业”，鼓励学生记录和表达，提高学生的应用意识和实践能力

《标准（2011年版）》在阐述“综合与实践”时提出：“提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中”。也就是说，像“漏水实验”“旅游计划”这样的项目探究型活动一般每学期1～2次即可，但平时可以再设计一些探究过程相对简单的“实践性作业”，如“剪一个自己喜欢的轴对称图形”“制作一个长方体或正方体的纸盒”“估测一片树叶的面积”、“调查生活中一些物体的体积或容积”，通过这些“实践性作业”促进学生应用意识、实践能力和创新精神的形成。这样的“实践性作业”教材中也有一些安排，教师可以利用好教材中的问题，引导学生开展实践性活动，教师也可以根据教材内容和学生的实际情况自行设计一些“实践性作业”。同时，教师要注意引导学生在进行“实践性作业”时记录相关数据与观察发现等，鼓励学生用观察报告、数学日记、调查报告、小论文等多种形式进行表达，并通过班级交流讨论、板报集中展示、报刊文集刊登等多种形式组织学生展示交流。

案例3：“认识厘米和米”的实践性作业

一位教师为了引导学生“体验建立统一长度单位的必要性”，在课前课后布置了四次课外实践作业。

课外实践作业（一）：请你和爸爸、妈妈一起用脚量一量你的小房间的长。

反馈时，先让学生说一说根据自己量的结果与爸爸、妈妈量的结果是否一样？为什么？通过交流，学生初步了解“爸爸的脚长，量出来的数据小；我的脚短，量出来的数据大”。学生初步体验到了同一物体用不同的长度作单位量，会得到不同的结果。

课外实践作业（二）：请你和同桌一起用一拃来量一量课桌桌面的长。

这次作业是在第一次作业反馈后，直接布置同桌在课间进行实践和交流，通过实践和交流让学生第二次体验到“虽然都用一拃来量课桌桌面的长，但同桌两人的一拃也有长短，所以量出来的数据也不相同，但比较接近”。

课外实践作业（三）：请你用数学书来量一量你的小房间的长、课桌桌面的长。

作业反馈时，学生不仅得出了每个房间的长的数据，还比出了谁的房间的长要长一些，知道了课桌是一样长的。学生体会到因为这次测量都是用数学书封面的长来量的，单位统一，就可以进行比较了。

课外实践作业（四）：请你用尺来量一量你的小房间的长和课桌桌面的长。

第四次作业是在学生认识了米和厘米后布置和反馈的，通过实践加深了对米和厘米的认识，同时促进学生建立标准长度单位和自选长度单位的联系。

认识“厘米和米”的教学，教材编写的意图是先让学生通过实践操作体会统一长度单位的必要性，再认识公用单位。但要在一节课里让学生积累这样的经验往往有一定的困难，因为二年级学生在生活中对度量单位的体验比较少。因此，教师设计了几次人人能参与和完成的课外实践作业，让全体学生在操作实践中，体会了用自选单位进行度量的方法，感受统一长度单位的必要性。同时，通过几次实践性作业，让学生对长度单位的体验更加深刻，厘米、米的概念的建立更为清晰。

案例4：一则数学调查日记——喝哪种牛奶合算

大家都喝过牛奶，它的品种也很多：甜牛奶、纯牛奶、芦荟酸奶、草莓牛奶、高品牛奶……，现在，让我们一起看看我调查得到的订购情况吧！

从上表中可以看出白雪酸奶的订购的户数最多，而纯鲜奶200mL的订购户数最少，但为什么同样的牛奶980mL订购的户数却较多呢？那就让我们来做个计算吧！相信你一看结果谜底自然就揭开了。

纯鲜奶：980mL（7元/盒） 200 mL（2元/盒）

200÷2=100（mL/元）

980÷7=140（mlL元）

140-100=40（mL）

同样1元钱可以多吃40mL的牛奶。现在知道了吧！

我的体会：在生活中，处处有数学的存在，经过这次调查和计算，让我知道了花同样的钱，可多买点牛奶，不是更实惠吗？也许你没注意吧！平时多开展调查，写写数学日记，可谓是一举两得，既可使自己进一步认识数学，使数学学得更扎实，又解决了生活中的问题。学数学就得多观察、多思考、多发现。

这是一则学生的数学调查日记，学生用数学日记的形式记录了一次调查获得的数据，并进行了计算和分析，体会到了数学在生活中的应用。这样的实践性活动，学生收获的不仅仅是“1元钱可以多吃40mL牛奶”，更多的是一份智慧。

三、组织开展“数学节”活动，引导学生感受数学的魅力，促进数学素养的综合提升

为了全面促进学生数学素养的提升，引导学生从更广的层面上感受数学与社会、生活的联系，营造“学数学，用数学，爱数学”的氛围，体会数学学习的乐趣，在开展“综合与实践”学习活动时，还可以策划和组织一些年级性甚至是全校性的“数学节”活动。可以是专项性的活动，如“‘做中学’作品展示会”“数学家故事会”“数学真奇妙阅读交流会”“数学日记汇展”“数学谜语大会”等；也可以是综合性的数学节活动，如“多彩童年，快乐数学”“数学周”“数学智慧街”“畅游数学乐园”等。

如“开启智慧，让快乐与数学同行”数学节活动，主要包括数学节节标设计、数学小故事征文、数学游园会、班级主题墙报等，历时两周。下面摘录“数学节” 部分活动内容及学生作品。

1.数学节标的设计。学生用图画的方式去描绘心中的数学，用自己对数学的理解设计了很多有创意的节标。

2.数学小故事征文。学生用优美的文字、生动的情节、有趣的故事写下了自己对数学的理解与体会，写下了自己数学学习生活中的故事和学习乐趣。

3.数学主题墙报。每个班级利用墙壁、数学角等搭建各种各样的数学文化平台，展示数学文化魅力，并结合墙报开展一次主题数学课。活动中，全校每个教室布置温馨，注重数学味，凸显数学特色。如“数学智慧星”“数学小报”“数学名家”“数字王国”等，处处发挥着数学文化潜移默化的作用，深化学生对数学学科的认识，提高了学生对数学的兴趣。如下图为一个班的数学主题墙报。

4.数学特色游园活动。为了让严谨枯燥的数学充满情趣，让每个孩子能参与到数学活动中来，学校分年级段设计开展了数学游园活动。数学教师根据学生年龄特点设计了形式多样、内容有趣的数学游戏，如一年级组的“今天我当家”“沙漠寻宝”“小小神算手”“神奇七巧板”“数学迷宫”；二年级组的“24点大比拼”“小心地雷”“神奇扑克”。三年级组的“奇思妙想美丽的图案”“瞎子寻宝”；还有五年级组的“猜数游戏”“ 聪明13点”等。各个教室的游园现场，场面火爆，气氛热烈，每一位学生在数学王国里大显身手、答题闯关，展示自己的智慧和创新才能，体会应用数学解决实际问题的成功喜悦。下面两幅图是“数学游园活动宣传海报”。

这些丰富多彩的数学活动，为学生提供了一个多途径、多方法、多角度亲近数学的舞台，学生在活动中学会思维、学会合作，充分地享受着数学的乐趣，汲取着数学的养分，收获着全新的数学体验。有学生在参与了数学节活动之后写下了这样的体会：“数学是一席丰盛的大餐，它有那么多的滋味”“数学就像一勺糖水，让人回味无穷；数学也像荒漠中的一块绿洲，使人心旷神怡；数学更像千回百转的胜境，让人流连忘返”。这些活动丰富了数学课程形态，实现了学生数学素养的全面提升。

（浙江省嘉兴市南湖区教研室 314000）