由一堂数学习题课说起

孙志凤

【摘要】本文从一堂习题课阐述了新课改下如何对学生的反思能力的培养。

【关键词】反思线段和差的证明；反思数学思想；反思变式推广

习题课是老师对前面所学内容进行系统整理的过程，是让学生构建知识系统的过程，让学生对基本知识和基本技能消化吸收的过程，也是培养学生具有反思能力的有效途径。因此，如何上好数学复习课是我们每位数学教师认真思考的过程。笔者从一节习题课谈谈课改背景下学生反思能力的培养途径。

这节课笔者复习三角形全等的应用，特选用了一道中考题，此题为：如图四边形ABCD中，点E在CD上，连结AE、BE，给出了以下五个关系式①∠1=∠2 ； ②∠3=∠4；③AD∥BC；④点E是CD的中点；⑤AD+BC=AB，将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。用序号写出一个真命题，并给出证明。通过师生、生生交流思考得出了很多的解法，并且解法都具有代表性，而在推进新课改的理念下，我们在解题教学中不但要把解题作为目标，还要把解题活动作为研究对象，把学会数学思维和促进学生的发展作为目标，基于这一点笔者认为有必要让学生对上述问题的解题活动过程进行反思。反思不仅仅是对过程的简单回顾和重复而是探究数学习题中所涉及的数学知识，方法、策略等；从而归纳出数学中具有规律性的东西，从而把数学课堂变大变深变活。

一、反思对线段的和（差）证明的方法

本题若以①②③为题设，④⑤为结论，反思此题证明线段的和（差）时作辅助线的规律可以让学生触类旁通，一举多得。

1.本题中证明AD+BC=AB作辅助线时可遵循补短的，如图：

延长BC、AE交于点F

简证：由△ABF是等腰三角形

可得AE=EF从而证明

△ADE≌△FCE得AD=CF

而AB=BF所以得AD+BC=AB

2.本题中证明AD=BC+AB，作辅助线时可遵循截长的规律如图：

在线段AB上取一点F使AF=AD，连接EF

简证：由作法可得△AFE≌△ADE

∴∠5=∠D∵AD∥BC∴∠C+∠D=180°

∵∠5+∠6=180° ∴∠6=∠C

可证△FBE≌△CBE

∴BF=BC

∴AB=AD+BC

二、反思数学思想，抓住问题的本质

解法是数学解题的的必经之路，学生在解题时仅仅缺乏对数学思想方法的提炼和概括，使得学生缺乏对问题本质的把握，教师应引导学生对数学思想方法解题策略和思路进行整理，从而使解题过程清晰化、准确化。数学的思想是数学问题的灵魂，通过反思数学思想方法开阔学生的视野，使学生的思维逐渐朝着多开端，灵活的方向发展，这个过程中逐步提高学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构。

三、反思变式及推广

对问题进行变式及推广，可以使学生真正建立起新旧知识的内在联系、加强学生对所学知识的本质联系，提高学生的创新能力和思维能力。

在解决以上考中考题时可进行以下的变式和推广

变式1：若①②④则③⑤

即：已知∠1=∠2，∠3=∠4，点E是CD的中点

求证：AD∥BC，AD+BC=AB

变式2：若②③④则①⑤

即：已知∠3=∠4，AD∥BC，点E是CD的中点

求证： ∠1=∠2，AD+BC=AB

推广：通过同学们认真讨论，发现在这五个关系式中任意三个关系式作为题设，另外两个关系式作为结论都构成一个真命题，通过反复探索，活跃了同学们的思维，加深了新旧知识的内在联系。

本节课通过让学生反思，不但发现了新解法，而且对化归思想，整体思想和解题策略有了深刻的体会。教师在教学中，要经常自觉地引导学生对自己的学习行为进行反思。特别重视解题后的反思与总结，优化学生的思维品质，培养他们的创新意识和创新思维。

参考文献：

[1] 罗军.利用熟悉的教材培养应用意识.中学教研（数学）.2001,6

[2] 文晓宇.略论数学思维的品质及其培养.中学数学教学.1999,2

[3] 李红婷.“问题解决教学”理论与教学结构.中学数学教学参考.2002,6

[4] 王梓坤.今日数学及其应用.数学通报.2004,7