变加速参数的HSS方法

杨君伟 董建强 李根强

【摘要】本文提出了一种变加速参数的HSS方法(VPHSS方法)，通过理论分析证明了算法的收敛性。数值算例充分说明了VPHSS方法的有效性。

【关键词】HSS方法；变加速参数；收敛性分析

【基金项目】北方民族大学研究生创新项目基金，2011ZYC037，作者担任该项目主持人。

1币 言

现代科技发展非常迅速,它们都有一个共同特点,就是都有着大量的数据计算问题需要处理。于是,作为科学和工程计算的基础,计算数学的地位在当今的科技发展中就显得尤为突出。而作为计算数学基本课题之一,如何高效求解大型线性代数方程组已经成为许多实际应用问题的核心,很多重要的实际问题可直接或间接地归结为求解大型线性代数方程组。

考虑大型稀疏线性方程组：

Ax=b。

(1。1)

其中,A∈Cn×n是一个非奇异且正定的矩阵,不必对称,b∈Cn。

求解方程组(1。1)的迭代方法要求对系数矩阵A进行有效的分裂,任何一个n×n非Hermitian矩阵A都可以分解成A=H+S的形式，其中H=12(A+A*)为Hermite矩阵,S=12(A-A*)为反Hermite矩阵。

基于以上分裂形式,在文献［1］中,我国学者白中治等人提出了求解方程组(1。1)的一种有效的迭代方法,即HSS方法。

HSS方法：给定一个初始向量x(0)∈Cn，对于k=0,1,2，…直到{x(k)}收敛，计算：

(αI+H)xk+12=(αI-S)x(k)+b,

(αI+S)x(k+1)=(αI-H)xk+12+b。

其中α是一个给定的正数。

关于HSS方法的收敛性，有如下的定理结论：

定理1 令A∈Cn×n是一个正定矩阵，H=12(A+A*),S=12(A-A*)是它的Hermite部分和反Hermite部分，α是一个给定的正数，则HSS迭代方法的迭代矩阵M(α)可以写成：M(α)=(αI+S)-1(αI-H)(αI+H)-1(αI-S)。

它的谱半径ρ(M(α)）的一个上界是：

σ(α)≡maxλi∈λ(H)α-λiα+λi<1。

其中，λ(H)是矩阵H的谱集。所以对笑>0，有ρ(M(α))≤σ(α)<1，即HSS迭代收敛于线性方程组(1。1)的唯一解x*∈Cn。

定理1说明了σ(α)只与系数矩阵A的Hermite部分H的特征值有关,而与A的反Hermite部分S的特征值以及矩阵A,H,S的特征向量无关。

2盫PHSS方法

HSS迭代方法是以对称部分与反对称部分为主而交替进行的两步迭代方法，与Peaceman和Rachford以及Douglas和Rachford的解偏微分方程的经典的ADI交替迭代方法相类似。一般地，ADI方法比松弛方法收敛得更快，如果在能够ADI方法中使用可变加速参数，将使得迭代方法更加有效。正是基于这样的思想，我们将可变加速参数的思想应用到HSS方法中，使得每步迭代的加速参数成为可变的，于是就可以建立变加速参数的HSS方法，简称VPHSS方法。

VPHSS方法：给定一个初始向量x(0)∈Cn，对于k=0,1,2,…直到{x(k)}收敛，计算：

(αk+1I+H)xk+12=(αk+1I-S)x(k)+b,

(αk+1I+S)x(k+1)=(αk+1I-H)xk+12+b。

其中,αk=γmaxγminγmax2k-12k,k=1,2,…，m，对于αk，采用循环使用的办法，即：α1,α2，…，αm;α1,α2,…，αm…。

由于衚∈N*,αk=γmaxγminγmax2k-12k>0，所以由定理1,可得VPHSS方法的收敛性定理：

定理2 令A∈Cn×n是一个正定矩阵,H=12(A+A*),S=12(A-A*),是它的Hermite部分和反Hermite部分,γmin,γmax分别是矩阵H的最小和最大的特征值,αk=γmaxγminγmax2k-12k(k=1,2,…,m)是可变加速参数,则VPHSS迭代方法的迭代矩阵M(αk)可以写成：

M(αk)=(αkI+S)-1(αkI-H)(αkI+H)-1(αkI-S)。

它的谱半径ρ(M(αk)）的一个上界是：

σ(αk)≡maxλi∈λ(H)αk-λiαk+λi<1。

其中，λ(H)是矩阵H的谱集,所以对于αk=γmaxγminγmax2k-12k,k=1,2,…，m,有ρ(M(αk))<σ(αk)<1,即VPHSS方法收敛于线性方程组(3。1)的唯一解x*∈Cn。