一次例题教学中凸显的一堂高效数学复习课

刘定定

课堂教学我注重了小组合作学习，数学问题都是先由学生小组讨论，自主探究、思考，然后让每一小组把讨论的结果展示出来，由师生共同探究。我在高三复习不等式最值（值域）的解法时，在上课前精选了几道我自己认为很有代表性的例题，目的是通过几道例题将不等式值域（最值）常用解法归纳总结，如配方法、基本不等式法、函数单调性法、数形结合法、导数法和向量法等。但由于例题的局限性，要讲清楚这些方法，通常情况下需要各种不同的例题，两个课时完成，以说明这些方法的应用特征和技巧。但是在实际教学过程中，第一道例题在学生讨论的过程中产生了意想不到的现象，各组提出了许多种做法，几乎涵盖了我预设的求不等式值域（最值）的各种方法。

例题 已知a>0,b>0,a+b=1,求a+1+b+1的最大值。

黑板上写出题目，各个小组迅速讨论，几分钟过后，很快就有学生举手，我要求各组依次把他们的方法展示出来，有一个小组是这样解的：

方法一 令M=a+1+b+1，等式两边平方，然后利用基本不等式得：M2=a+1+b+1+2a+1?b+1≤3+(a+1+b+1)=6，得最大值为6。

还有一个小组利用课本习题的结论，也是基本不等式：

方法二 教材（人教版）不等式一节的习题a2+b22≥a+b22的变形a+b≤2?a2+b2，(a>0,b>0)证明方法更加直接，a+1+b+1≤2(a+1+b+1)=6。我们分析了a，b的取值范围和等号成立的条件，我补充说，课本上的这道题也是一个非常重要的不等式，我要求学生今后求最值时注意应用。

至此，我选这道题的目的已经达到，准备进入下一道题，然后各组学生像炸开锅一样在说着自己的做法，有一个组的同学的方法也是利用课本上一道习题的结论：

方法三 利用课本习题(ac+bd)≤(a2+b2)(c2+d2)证明1?a+1+1?b+1≤(12+12)?(a+1+b+1)≤6。我一看是用柯西不等式，我当即表扬了这两个组的同学，表扬他们能活学活用，对教材上的知识掌握得好，基本功扎实，我们就是要会用我们已经学过的知识解决问题。

课上到这儿，我感觉举手的学生很多，同学们都跃跃欲试，我索性改变了原来设计的教学过程，放手让学生继续探究这一道题，继续展示他们的做法，其他组的学生陆续也提出了一些做法。

方法四 某一组的学生提出在方法一的形式下利用二次函数求最大值，M2=3+2(a+1)(2-a)=3+2-a2+a+2，显然，当a=12时，二次函数f(a)=-a2+a+2,(0

方法五 令y=a+1+2-a，则y′=12a+1+-122-a，令y′=0，可得a=12的时候有最大值6。以上两种方法是利用函数求最值的方法，至此我感受到，小组合作学习这种学习形式，让学生之间能有机会讨论，在讨论中促使学生产生思维的火花，思考出更多好的做题方法。在学生的进一步探究下，又有一组学生给出了下面的两种解法，更是妙趣横生，令人叹为观止。

方法六 构造向量法。m=(a+1,b+1)，n=(1,1)，利用m?n≤|m||n|证明，即：a+1+b+1=m?n≤3?2=6，当且仅当向量m,n同向时等号成立。又是一个十分巧妙的处理，利用我们学过的知识解决问题是我们十分期待的。

方法七 设x=a+1，y=b+1,则a=x2-1,b=y2-1，代入a+b=1，有x2+y2=3，M=x+y，巧妙换元，以下可以用基本不等式证明，M2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=6，或者继续用换元法，令x=3cosθ,y=3sinθ，代入a+1+b+1=x+y=6sinθ+π4≤6。讨论至此，我和学生共同把上面所有方法加以归纳整理，我发现几乎涵盖了之前要通过几道题目所要解决的求最值的方法。

通过这样一道例题，学生在小组讨论中师生共同探究得到了多种解法，整堂课学生自己去发现，去探究，去思考，教师只是在宏观上作了组织和指导，教师几乎没有讲解，避免了“满堂灌”，充分调动了学生学习数学的积极性，提高了学生学习数学的兴趣；通过本节课的学习，除了让学生掌握了数学知识，还让学生在不停的思考和发现中了解知识发生的过程，提高了学生思维能力，达到了我们期待的教学目标。

教学相长，互为补充，如何构建高效的课堂是我们教育工作者一直探讨的问题。什么样的课堂高效？我想只有学生成了课堂的主角，在教学过程中能引导学生主动参与学习，主动探究，自己感受知识发生的过程，从而让学生掌握知识、提高能力，我想这样的课堂才是高效的课堂。因此，教师备课时既要备教材又要备学生，对学生学习过程中可能出现的情况加以预设，教师要有心理准备。随着新课程改革的不断深入，教师和学生学习角色的转变，学生有了更多的时间和机会思考问题，这样一来，对我们教师的要求就更高了，要求教师有更高的应变能力和驾驭课堂的能力。虽然本节课只讲了一道例题，尽管自己之前的教学设计没有完成，但从教学效果看，比按照我预设的那些习题完成教学任务所达到的教学效果要好得多。本节课既充分调动了学生的学习积极性，又让学生在小组合作学习的过程中，体会到了自己思考、探究、成功和发现的喜悦。这样的复习课不仅让学生掌握知识又提高学生的能力，这样的教学效果是我们应该期望看到的。