上海银行间拆放利率扩散过程的非参数估计分析

王庆石 韩成栋

摘要：本文使用两种非参数估计方法，对上海银行间拆放利率扩散过程的漂移函数进行了估计。通过对不同辅助序列选择下估计结果的比较，发现不同期限利率在统计特性上的差异是造成估计结果不同的主要原因。在估计SHIBOR 1周短端利率的漂移函数时，短端辅助利率对估计结果有较大的影响，而长端辅助利率的影响则相对较小。SHIBOR 1个月的短端利率兼有长、短端利率的特点，因而长端辅助利率对其漂移函数估计结果的影响最小。

关键词：SHIBOR；扩散过程；漂移函数；非参数估计

中图分类号：F830.9 文献标识码：B

一、引言

短期利率不仅是刻画利率期限结构动态过程的重要状态变量，同时也是固定收益证券与衍生品定价的重要依据，因此有许多研究分别提出不同的连续时间模型来刻画短期利率的动态过程。短期利率rt的单变量连续时间模型一般设定为： drt=μ(rt)dt+σ(rt)dWt（1）

其中μ(rt)和σ(rt)分别是漂移函数和扩散函数，Wt是布朗运动（Brownian motion），t∈［0,T］。各种单变量连续时间模型之间的差异主要在于漂移函数和扩散函数的设定不同，主要的模型有Vasicek［16］，Richard［13］，Brennan和Schwartz［4］，Cox，Ingersoll和Ross［7］，Chan，Karolyi，Longstaff和Sauders［5］，Duffie和Kan［8］等等。A唗-Sahalia［2］给出了一个更加一般化的模型，即：

drt=(α0+α1rt+α2r2t+α3r-1t)dt+(β0+β1rt+β2rβ3t)-1/2dWt（2）

上述各种模型都是通过对参数α0,α1,α2,α3,β0,β1,β2和β3进行不同设定而得到的①，参数模型的优势在于其容易计算，并且在一些情况下能得到债券和利率衍生品定价公式的封闭解。然而，由于在如何设定模型、如何判断模型的正确性等方面没有统一的标准，因而存在模型错误设定的风险。例如A唗-Sahalia［2］通过对比在不同参数设定下利率数据的边际密度和没有参数设定下原始数据的边际密度，发现所有的参数模型都与实际数据不符，因而否定了参数模型正确性。Backus、Foresi和Zin［3］的研究则表明利率模型的错误设定会导致严重的定价误差。

对利率模型的参数施加较少约束的非参数模型近来有了较多的发展和应用。在国外的研究中，A唗-Sahalia［1］使用7天欧元存款利率的日观测数据，先用参数方法估计漂移函数，再结合非参数密度估计量和漂移函数的参数估计量从而获得扩散函数的非参数估计量。研究结果表明扩散函数的非参数估计量与参数估计量相比具有较大的波动性，并且随着利率水平的提高其波动幅度也相应增大，因而在整体上是非线性的。Jiang、Knight［12］在Florens-Zmirou［9］等研究的基础上，提出了漂移函数和扩散函数的非参数核估计量，并将该方法应用于加拿大3个月国债利率的日观测数据。研究结果表明漂移函数在利率水平较高或较低时均具有均值回复特性，而在中等利率水平处则比较平缓，不具有均值回复特性。由于扩散函数的波动幅度较大，整体上也是非线性的且不具有均值回复特性。Stanton［15］使用泰勒级数展开式和无穷小生成元（infinitesimal generator），得到基于不同阶数的漂移函数和扩散函数的近似估计，并且在引入核函数后得到两者的非参数估计量。通过对美国3个月国债收益率日观测数据的研究，发现漂移函数在较低和中等的利率水平处比较平缓，而当利率水平较高时则具有较强的均值回复特性，因而整体上是非线性的。扩散函数则随着利率水平的上升而逐渐增加，具有非线性特性。

在国内的研究中，李和金、郑兴山和李湛［19］使用Florens-Zmirou的方法对国债回购利率进行非参数估计，研究结果表明漂移函数在中等利率水平处比较平缓，而在利率水平较低和较高时均表现出较强的均值回复特性。扩散函数则随着利率水平的提高而增加，而且是非线性的。宋永安和陆立强［20］将Florens-Zmirou的非参数方法，应用于上海证券交易所1个月回购利率R028每日收盘数据，其非参数估计结果表明漂移函数整体上是非线性的，在利率水平较高时具有较强的均值回复特性，而在其它利率水平下则比较平稳。扩散函数的波动幅度随着利率水平的提高而增加，也呈现出非线性的特性。周荣喜等［21］使用Florens-Zmirou的非参数方法对上海证券交易所回购国债GC001数据进行了研究，并且在估计中分别使用了抛物线核函数与高斯核函数。研究结果表明高斯核函数的估计效果较好，其估计结果表明漂移函数整体上十分平缓，在利率水平较高时略微具有波动性；扩散函数则随着利率水平的提高而增加，而且是非线性的。胡瑾瑾和陈淼垚［17］使用Stanton［15］和Jiang［11］等研究的方法，计算漂移函数和扩散函数的非参数估计量，通过对上海证券交易所债券市场7天回购利率R007的研究，发现漂移函数在利率水平较低和中等利率水平处十分平缓，而在较高的利率水平处呈现较强的均值回复特性，因而在整体上是非线性的。由于扩散函数则在利率水平较低和中等利率水平处估计值较低，而在利率水平较高时的估计值较高，因而在整体上也是非线性的。

A唗-Sahalia［2］的非参数检验认为参数模型之所以被拒绝，主要是因为它们对漂移函数的错误设定，即应该将漂移函数设定为非线性的而不是线性的。这一观点可以用前面的文献综述加以佐证，即绝大部分结论都认为漂移函数是非线性的。但是这一结论也受到了其它研究的质疑，比如Chapman和Pearson［6］认为当真实的漂移函数是线性的时，A唗-Sahalia［2］和Stanton［15］的非参数估计量也会倾向于得到非线性的漂移函数，因而漂移函数具有非线性特征的结论是不稳健的。有鉴于此，Sam和Jiang［14］借鉴Hjort和Glad［10］的研究思路，通过将参数试点估计量（pilot estimator）与非参数“修正因子”相结合来改进函数的估计。为了估计美国3个月国债利率日观测数据的动态模型，还使用了期限分别为6个月、1年的国债数据和期限分别为3、5、10年的中期国债数据。使用新方法所得到的结果与使用Stanton方法所得到的结果相比，两者的漂移函数在较低和中等的利率水平处均比较平缓，并且在利率水平较高时具有均值回复特性，但是前者的回复程度要明显减弱许多，因而得出漂移函数在利率水平较高时只是略微具有均值回复特性的结论。本文采用Stanton［15］与Sam和Jiang［14］两种非参数估计方法，对SHIBOR市场利率扩散过程的漂移函数进行估计，通过对不同结果的比较来研究漂移函数的特性以及不同期限利率之间的相互影响。

二、利率模型的非参数估计

为了避免对漂移函数和扩散函数的错误设定，Stanton［15］提出了一种通过使用离散的观测数据对两个函数进行近似估计的有效方法。考虑式（1）中的扩散过程rt，将条件期望Et［f(rt+Δ,t,Δ)］ 用泰勒级数展开为：Et［f(rt+Δ,t+Δ)］=f(rt,t)+Af(rt,t)Δ+[SX(]1[]2[SX)]A2f(rt,t)Δ2+…+[SX(]1[]n![SX)]Anf(rt,t)Δn+O(Δn+1)（3）

其中A是{rt}的无穷小生成元②，Δ表示相邻两个观测的时间间隔，Et表示以t时刻信息集为条件的条件期望。从式（3）可以得到Af(rt,t)的一阶近似，即：Af(rt,t)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［f(rt+Δ,t+Δ)-f(rt,t)］+O(Δ)（4）

当时间间隔为2Δ和3Δ时，还可以得到Af(rt,t)的高阶近似。

选择适当的函数f，就可以通过式（4）得到漂移函数和扩散函数的近似估计。Stanton［15］选取fμ(r,t)≡r,fσ(r,t)≡(r-rt)2， 分别用于估计两个函数，所得到的一阶近似估计分别为：

μ(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［rt+Δ-rt］+O(Δ)（5）

σ2(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［(rt+Δ-rt)2］+O(Δ)（6）

利用核估计方法，得到式（5）的非参数估计为：

E［rτ+Δ-rτ｜rτ=r］≈[SX(]∑T-1t=1(rt+Δ-rt)K［(r-rt)/h］[]∑T-1t=1K［(r-rt)/h］[SX)](7)

其中K(z)=2(π)-1/2e-(1/2)z2为正态核函数，h为窗宽（window width）。

Sam和Jiang［14］的非参数方法与现有参数方法和其它非参数方法的关键区别，在于它使用的是由多个期限的利率序列构成的面板数据，其中第一个利率的漂移函数是需要估计的，而其它期限的利率序列则用作辅助序列参与估计。该方法借鉴了Hjort和Glad［10］的研究思路，使用参数试点估计量和非参数“修正因子”来改进函数的估计。其优点在于，当试点估计量能够较好地近似条件均值时，“修正因子”是一个平滑的函数，因而更容易用非参数方法进行估计。该方法分两步实施：第一步，同时使用各个期限的利率用以估计漂移函数的非参数混合估计量，由于不同期限利率的漂移函数一般来说是不同的，因而该估计量不是最优的；第二步，使用非参数“修正因子”来纠正混合估计量中存在的偏误。

定义μp(r)=∑Jj=1μj(r)wj(r)，其中wj(r)=(pj(r))/(∑Jj=1pj(r))。pj(r) 是第j个利率序列的密度函数，j=1,…,J。μp(r)就是要用各个期限的利率数据来估计的漂移函数的混合估计量，利用它可以得到漂移函数的估计，即： μ1(r)=μp(r)[SX(]μ1(r)[]μp(r)[SX)]=μp(r)c(r)（8）

在式（8）中，c(r)为“修正因子”，且μp(r)≠0。c(r)的非参数估计(r)可表示为：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑n-1t=0[SX(]r(1)(t+1)δ-r(1)tδ[]μp(r(1)tδ)[SX)]Kh(r(1)tδ-r)[]∑n-1t=0Kh(r(1)tδ-r)[SX)](9)

在实际应用中，由于μp(r)未知，因此需要用它的一致估计量来代替，即：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑Jj=1∑n-1t=0(r(j)(t+1)δ-r(j)tδ)Khp(r(j)tδ-r)[]

∑Jj=1∑n-1t=0Khp(r(j)tδ-r)[SX)](10)

结合式（9）与式（10）就可以得到漂移函数μ1(r)的非参数估计量1(r)。当使用日观测数据时，式（9）和式（10）中的δ取值为1。

三、实证分析

本文使用上海银行间拆放利率（SHIBOR）数据作为研究对象，该数据在国内的研究中已逐渐得到了广泛的应用，同时也具有重要的参考价值。数据的样本期间从2006年10月8日到2011年7月29日，总共有1 206个日观测值，选择的利率期限分别为1周、2周、1个月、3个月、6个月、9个月和1年。考虑到国内外还没有相关研究使用期限为隔夜的利率数据，因而本文选择估计期限为1周的利率，而其它期限更长的利率则作为辅助利率，期限为1周的利率及其一阶差分分别由图1和图2给出：

漂移函数的非参数估计分别使用Stanton与Sam&Jiang两种方法，最优窗宽按照公式opt=1.06sT-1/5进行计算，其中s为利率序列的标准差，T为样本观测个数。相应的估计结果分别由图3与图4给出：

从图3中的结果可以看到漂移函数在中等利率水平以下的范围内十分平稳，几乎为0。在利率水平较高时则具有均值回复特性，此后又趋于平稳。该结果与国内外相关研究的发现较为接近。图4中漂移函数的非参数估计结果是按照Sam&Jiang方法估计的，可以看出与图3有明显的差异。在利率水平较低时，漂移函数十分平稳，而在中等利率水平处则表现出波动特征，且波动幅度较大。在利率水平较高时具有均值回复特性，并且均值回复与平稳交替出现。

如前文所述，Sam&Jiang方法所构造的非参数估计量通过引入辅助利率来纠正以往方法中存在的偏误，而图4中的结果却与该方法的初衷相违。考虑到其它相关研究中并没有发现类似的结果，因而认为图中的结果可能与辅助利率的选择有关。在SHIBOR数据中，期限为1个月及以下的利率为短端利率，期限为3个月至1年的利率为长端利率。短端利率的波动幅度较大，表现为波动趋势；长端利率的波动幅度较小，表现为漂移趋势。当使用长端利率作为短端利率的辅助序列时，两者在趋势上的差异对短端利率漂移函数的估计可能会造成一定的影响。长端利率对1周利率的漂移函数估计的影响可以通过比较图4与图5做初步判断：

图5与图4的区别在于辅助利率的选择不同，即只选择期限为2周和1个月的短端利率作为辅助利率，而没有将长端利率包括进来。从图5可以看出在中等利率水平处，虽然漂移函数的波动幅度有所减小，但是仍然具有明显的波动特征。可见长端利率只是加剧了波动幅度，并不是造成估计结果之间差异的主要原因③。此外，从表1所列出的描述统计量中可以发现，即使短端利率之间也在偏度、峰度和最大值等描述统计量上存在明显差异。短端利率之间的差异或许是导致漂移函数波动特征的原因之一，并且其影响主要体现在利率水平中等和较高时，然而这一判断的正确性还有待进一步的研究与分析④。

为了进一步考察短端利率与长端利率趋势上的差异对估计结果的影响，本文还对期限为1个月的利率分别按照两种非参数方法进行了估计，其它期限更长的利率则作为辅助利率。从表1可知该期限的利率是所有短端利率中与长端利率在统计特性上最为接近的，并且从走势图（本文未给出）上来看，该利率与其它短端利率相同的是它具有波动趋势，不同的是它与长端利率具有相似的线性趋势。估计结果分别在图6与图7中给出，图7中的结果与图6的总体上差异不大，只是在中等利率水平处略微具有波动特征，但是波动幅度不大，同时均值回复强度要大一些。因此，长端利率对1个月利率的漂移函数估计结果的影响与图4中的相比要明显减弱许多，这也跟该利率与长端利率在统计特性上最为接近的观察相一致。可见长端利率对短端利率的漂移函数估计结果的影响取决于两者在统计特性上的差异程度。当统计特性差异较大时长端利率的影响就大，并且主要体现在中等利率水平处；当统计特性差异较小时长端利率的影响要小很多。

四、结论

本文使用SHIBOR市场利率数据，结合Stanton与Sam&Jiang两种非参数方法，对利率扩散过程的漂移函数进行了估计。对于期限为1周的利率，在两种方法下所得到的漂移函数的非参数估计结果存在显著差异，其中Stanton方法所得到的结果与以往研究较为接近，而Sam&Jiang方法所得到的结果表明在中等利率水平处漂移函数具有较强的波动特征，且在利率水平较高时的均值回复特性上也存在差异。这样的结果不但有违Sam&Jiang方法的初衷，而且在以往研究中也没有与之相似的情形，因而认为导致这一现象的原因在于辅助利率的选择。通过去掉辅助序列中的长端利率，发现长端利率只是加剧了中等利率水平处漂移函数的波动幅度，而短端利率之间在统计特性上的差异或许是导致这一现象的主要原因。为了进一步分析长端利率对短端利率漂移函数估计值的影响，本文还估计了与长端利率在统计特性上最为接近的1个月利率的漂移函数，发现两种方法所得到的估计结果差异很小，表明长端利率对短端利率漂移函数估计值的影响取决于两者在统计特性上的差异程度，统计特性差异越大影响就越大，反之亦然。

上述研究从辅助利率对估计结果的影响出发，对SHIBOR市场长、短端利率之间的相互影响进行了分析，其结论对SHIBOR市场利率的选择与使用具有一定的参考意义。在估计SHIBOR市场利率扩散过程时，由于短端利率之间缺乏一致性，因而最好分别进行研究。长、短端利率在趋势上的差异会对估计结果造成一定的影响，期限为1个月的利率兼有长、短端利率的特点，其估计结果参考意义更大。对于两种非参数估计方法，考虑到SHIBOR市场利率数据的统计特性，Stanton方法更为适用，今后的研究在利率期限的选择上应更加谨慎。

注释：

① 相关模型的具体设定请参见A唗-Sahalia［2］第403页的表3。

② 无穷小生成元的定义请参见科森多尔［18］第121页的定义7.3.1。

③ 如果在估计中只选择长端利率作为辅助序列，则结果表明漂移函数在中低等利率水平处具有低于图5中的波动幅度，在利率水平较高时具有较强的均值回复特性，而在其它利率水平处则十分平稳。

④ Sam和Jiang［14］的表2给出了各个期限利率的描述统计量，从中可以发现，不同期限的利率在统计特性上均比较接近。

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（责任编辑：关立新）