国小学童四边形学习的迷思概念

曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】本文主要是分析国小学童四边形学习的迷思概念，作者针对国小学童在学习四边形概念发展过程中易产生迷思概念加以讨论.

【关键词】四边形；Van Hiele几何思考理论

美国数学教师协会（NCTM，1991）提出，几何乃研究空间中的形状和空间关系，几何可帮助人们用有条理的方式表现和描述生活的世界.几何是一门探讨空间关系与逻辑推理的数学，几何概念与表征是数学与真实世界沟通的重要方式，且与数学其他领域紧密连接.几何是提供我们如何去阐释与反映外在物理环境的一种方法，并且可作为学习其他数学和科学题材的工具，加强几何的空间思考，有助于高层次的数学创造思考.美国数学教师协会（NCTM， 2000）指出数学教育的主要目标是要发展儿童的数学推理及思考能力，使其能够应用所学的数学知识和技能来解决在实际的生活中所遭遇的问题情境.而其中几何教学的目的是要协助学生学习了解以及运用几何的性质和关系.我国国小学童在学习的过程中，可透过荷兰数学教育家Van Hiele （1957）夫妇几何思考的模式发展的五个层次来了解儿童的几何概念发展阶段.每一个层次都有其发展的特征，分别为：视觉期（Visualization）、分析期（Analysis）、关系期（Relation）或非形式演绎期（Informal Deduction）、形式演绎期（Formal Deduction）、严密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）.Van Hiele （1986）也积极主张学习者思考层次的提升是经由教导，而非经由个体年龄的成长而发展，因此几何概念的教学活动扮演着相当重要的角色.

国小阶段学童的几何思考层次仅发展到Van Hiele夫妇所提出的前二或前三层次.从Van Hiele几何思考理论观点，层次一的重点在于以视觉认识图形，层次二重点在分析图形的构成要素与其间关系，层次三的重点在于图形的定义及其间关系的推理，前三层次是属国小、国中的学习内容.层次四则是几何概念的演绎推理，层次五的重点在了解抽象推理几何，此两个层次应属于高中、大学以上或专家的学习内容.

根据台湾九年一贯纲要数学领域“图形与空间”的主题能力指针，其第一阶段所要达成的能力大致与Van Hiele的层次一相符合，教材的设计以观察、操作具体物来认识形状；第二阶段所要达成的能力与Van Hiele的层次二也大致相符合，强调透过实测和制作的活动探讨各种几何图形的构成要素及其关系；第三和第四阶段所要达成的能力与Van Hiele的层次三亦极相近，教材强调透过操作与观察，进一步探讨图形间的包含关系，而且能做应用.四、五年级学童所学之四边形概念与Van Hiele几何概念发展层次相互对照，如表1表示.

本文主要是讨论国小学童四边形学习的迷思概念，作者归纳出学童对四边形概念学习是先经由视觉来辨认图形，慢慢才了解图形的组成要素及性质，基于此理由作者将本文分为图形辨认、形体组成要素、图形分类及基本性质四部分分别探讨如下：

图形辨认

在图形辨认方面，几何能力较低的学童大部分是以图形整体轮廓的观察为主，偏向视觉的观点来判别图形；几何能力较高之学童则是偏向型体组成要素的观点来判别图形.图形辨认中学童较常出现的迷思概念，从文献中汇整如表2.

作者发现许多学者的研究中显示，在形体组成要素方面，边和角的性质上发现：四年级至六年级对于四边形的基本性质“四个边都一样长”“两组对边互相平行”“两组对边相等”的性质仍不太清楚，显示对于菱形的性质不太了解.此外四年级至六年级对于“两组对边互相平行的四边形”之通过率大部分都优于“两组对边相等的四边形”之通过率，学童可能对于“两组对边相等”之意义不了解.形体组成要素中学童较常出现的迷思概念，从文献中汇整如表3.

图形分类

许多学者的研究中显示，在图形分类方面，低年级的学童会因为视觉的影响，而较能注意到图形部分的特征.如张英杰（2001）儿童几何形体概念之初步探究中发现，儿童在做基本图形分类时，由于只是受到两个图形部分特征是否相同之影响而错误分类；或是单凭两个图形的大小在感觉上之异同而分类.沈佩芳（2002）国小高年级学童平面几何图形概念之探究中发现，学童在做图形卡分类时，会优先以“有无直角”为分类的准则.

基本性质

许多学者的研究中显示，在基本性质方面，国小高年级学童平面几何图形概念之探究中发现，有接近四分之一的学童不认为“两双相对的边互相平行”是正方形、长方形、菱形、平行四边形的基本性质，也有学童误认“两双相对的边互相平行”是筝形、梯形的基本性质.在筝形上面，会认为筝形就是菱形，所以四个边一样长，且两组对边等长互相平行，对于筝形“有一条对角线对折后能使两边迭合，而另一条对角线对折后不能使两边迭合”的基本性质并不清楚.四边形基本性质中学童较常出现的迷思概念，从文献中汇整如表4.

教师在四边形教学时应该呈现多元的图例，如特例、非例，都应该在教学中呈现，如此学生才不会受直观的影响.有些老师在教学时可能只举一些图例来教学生辨认图形，例如：正方形都是正正的，平行四边形都是水平摆设的，都是有水平垂直的边等，而未举出不同方位或不同边长、角度的图，日后学生心中可能只有一些特定图形的心像，而容易受限制于某个图形一定是什么形状，这些图例可能就会变成一种“原型”（prototype），所以当图形大小、方位或边长比例改变时，就无法辨识图形.

所以教师在教学时应包含各种图例，多提供一些不同方位、边长或大小等的例子，不要局限于狭隘的图例，使得儿童只会辨识典型的范例.建议老师在四边形教学时，应多让学童透过具体的操作活动去学习，如折纸、在钉状方格纸造图等，去验证各种图形基本性质.

教师在教学时，应多聆听学生对图形的想法和所提出的例子，从学生的回答中可知道学生对于哪些图形感到困惑，或是已有哪些图形概念，是否有迷思的概念等.教师对 学生的学习情况若有进一步深层的了解，可助于拟定合宜的教学步骤及策略，帮助修正学生的错误概念，因此学生和教师之间的互动是很重要的.另外， 充分发挥现代教学多媒体组合的优势，通过形象生动的教学吸引学生的注意力，把静态的课本材料变成动态的教学内容.例如： GSP（The geometer餾 sketchpad）动态几何系统是近年来几何教学常使用的教学软件，它拥有在图形变换及图形改换时，显示长度、角度、比例、面积等度量的功能.GSP非常适合在四边形教学或其他几何教学上使用，并且可对结构性作图做宏建构、文字说明，形成简易操作钮，提供使用者几何学习的良好环境.除了学童认为GSP的动态仿真很新奇、很有兴趣学习外，学童在操作过程中会发现一种图形会有大小、方位不同等多元的方式出现， 从而进一步调动他们的学习兴趣，努力做到教法、学法的最优结合，使全体学生都能参与探索新知的过程.

【参考文献】

[1]张英杰（2001）.儿童几何形体概念之初步探究.国立台北师范学院学报，14，491-528.

[2]沈佩芳（2002）.国小高年级学童的平面几何形的概念之探讨.国立台北师范学院数理教育研究所硕士论文.

[3]National Council of Teachers of Mathematics （1991）.Professional standards for teaching mathematics. Reston， VA： Author.

[4]National Council of Teachers of Mathematics （2000）. Principles and standards for school mathematics.Reston. VA： National Council of Teachers of Mathematics， Inc.

[5]Van Hiele-Geldof， D. （1957）. De didaktick van de Meetkunde in deerste klass van het V.H.M.O. Summary of unpublished doctoral dissertation with English summary，University of Utrecht， Netherlands.

[6]Van Hiele， P. M. （1986）. Structure and Insight： A theory of Mathematics Education.Orlando： Academic Press.