例谈转化与化归思想的转化途径和方法

夏文宏

转化与化归是研究问题的一种手段，可以说贯穿着整个数学的学习，比如我们经常讨论的函数、方程与不等式之间的相互转化，都是转化与化归思想的体现.转化与化归的核心是将问题通过变换使之能利用已有的知识解决或快速解决，可以说转化与化归是数学思想方法的灵魂.这里与大家探讨转化与化归思想中常见的几种转化途径和方法.

1.特殊与一般的相互转化

由于一般性中隐含着特殊性，因而对于一定条件下任何值都成立的命题可利用其特殊性来求解.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

（1）特殊值

例1 若x∈（e-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=（lnx）2，则（）.

A.a

C.b

解析 令x=e-1[]2∈（e-1，1），则a=-1[]2，b=-1，c=-1[]8，故b

（2）特殊函数

例2 定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：

①f（a）·f（-a）≤0，②f（b）·f（-b）≥0，

③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），

④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），其中正确的序号是（）.

A.①②④B.①④

C.②④D.①③

解析 取f（x）=-x符合题意，逐项验证可知①④正确，故选B项.

（3）特殊数列

例3 已知等比数列{a璶}中，a璶>0，且a5·a6=81，则log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（）.

A.20B.10

C.5D.40

解析 取满足题意的特殊数列{a璶}，a璶=9，原式=log3910=20，故选A项.

（4）特殊方程

例4 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（）.

A.5[]4B.3[]2

C.2[]2D.1[]2

解析 可用特殊方程来考察.取椭圆方程为x2[]4+y2=1，则离心率e=3[]2.故选B项.

方法总结 对于一定条件下任何值都成立的命题可利用其特殊性来求解，应熟悉以上常用的特殊与一般问题的转化方法，这样可以提高解题速度.

2.主元与次元的相互转化

在处理多变元的数学问题时，可以选取其中的任一变量为主元变量称其为“主元”，其他量为次变量，称其为“次元”，分清“主元”与“次元”可以减少变元，简化运算，为解题带来方便.

例5 已知曲线系C璳的方程为x2[]9-k+y2[]4-k=1，试证明坐标平面内任一点（a，b）（a，b≠0）在C璳中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.

转化途径 此题有三个变量，若从曲线系的角度去考虑，以x，y为主元，则思维将受阻，若以k为主元，则容易看出，当k<4或4

解 假设点（a，b）（a，b≠0）在曲线C璳上，则a2[]9-k+b2[]4-k=1，整理得k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0.

令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），所以f（4）=-5b2<0，f（9）=5a2>0.

又函数f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）的图像开口向上，从而方程k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根，即对平面内任一点（a，b）（a，b≠0）在曲线系C璳中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.

方法总结 将解析几何中的曲线系问题转化为视参变量为主元的方程的根的问题，降低了难度，解法简练.

3.相等与不等的相互转化

相等与不等是两个不同的概念，在某种情况下可以相互转化，这种转化能使问题变得十分简单.

例6 设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a

转化途径 由题意得关于a，b，c的两个等量的关系式子，通过二次方程的判别式、放缩法、根的分布等手段得到不等关系.

证明 [HT]f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意，得f′（1）=3a+2b+c=0.①

f′（m）=3am2+2bm+c=-3a.②

因为a

得3am2+2bm-2b=0，所以Δ=4b2+24ab≥0，得b[]a2+6b[]a≥0，解得b[]a≤-6或b[]a≥0.③

将c=-3a-2b代入a

方法总结 等与不等是一对矛盾，在一定条件下可以相互转化，在等与不等的转化中，不等式与函数的性质常常起着重要的作用，是一条重要的纽带这，也是一个重要的化归模式.

4.空间与平面的相互转化

空间图像问题有些时候比较抽象，空间概念难以建立，给解题带来不便，并且在高考中直接给考生带来不利影响，但是有些时候将其转化到平面几何或类比平面上利用相关知识来处理，则显得轻而易举.

例7 如图1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一动点，则线段CP+PA1的最小值为.

图 1图 2

转化途径 空间图形中线段和的最值问题应将其转化到同一平面上来解，因而要将CP或PA1所在的平面旋转到同一平面上研究.

解 连接A1B，将△CBC1沿着BC1旋转到与△A1BC1同一平面上，如图2，连接A1C，则A1C与BC1的交点就为动点P，此时A1C的长度就是所求的最小值.由条件可知：BC1=2，A1B1=38，A1B=210，从而在△A1BC1中可得∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以在图2的△A1CC1中，∠A1C1C=135°，由余弦定理可求得A1C=52，则CP+PA1的最小值为52.

方法总结 将空间图形中所求的部分转化到平面上来研究是优化解题方法的技巧，可以使问题清晰明了，对本题型用此方法求解是较好的方法.

总之：复杂的数学问题都是由简单的问题复合而成，或通过适当的演化而成的.只要我们能将复杂的问题转化为简单的问题，我们就能解决相对复杂的问题.