一道中考函数应用题的错解及分析

贲知云

【摘要】根据一道中考函数题的错解和分析，让教师要有意识地引导学生关注生活，重视数学与生活实际的联系，帮助学生深入理解实际问题中的数学本质，那么学生也就能够走出对题意理解上的误区，这就是本文的意义所在.

【关键词】中考函数应用题；错解；分析

一、题 目

某加油站5月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图像如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.（销售利润=（售价-成本价）×销售量）

请你根据图像及加油站5月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元？

（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）（2009年江苏省中考数学试卷第27题）

二、正确的解答过程

解：（1）根据题意得，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5-4）=4（万升）.

答：当销售量为4万升时销售利润为4万元.

（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日的利润为5.5-4=1.5（万元）.

（5.5-4）（x-4）=1.5，解得x=5，所以点B的坐标为（5，5.5）.

设线段AB所对应的函数关系式为y=k1x+b1，则4k1+b1=4，

5k1+b1=5.5.

解得k1=1.5，

b1=-2.

所以线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x-2（4≤x≤5）.因为5.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11，所以点C的坐标为（10，11）.

设线段BC所对应的函数关系式为y=k2x+b2，则5k2+b2=5.5，

10k2+b2=11.

解得k1=1.1，b1=0.

所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）.

（3）AB段的利润最大.

三、主要错误

1.把图像中点B的纵坐标5.5（万元）当成了13日当日的销售利润.

错误过程如下：

（5.5-4）x=5.5，解得x=11[]3，所以B11[]3，5.5，解得线段AB的解析式为y=-9[]2x+22.

2.在正确求出点B的坐标（5，5.5）后，却因把点C的横坐标10（万升）理解错，从而导致销售量10万升时的销售利润计算出错.错误过程有3种：

（1）把点C的横坐标10（万升）错误地理解为由两部分5+5组成.

错误过程如下：

当x=10时，y=5.5+（5.5-4.5）（10-5）=10.5，所以C（10，10.5），解得线段BC的解析式为y=x+0.5.

（2）把点C的横坐标10（万升）错误地理解为由两部分6+4组成.

错误过程如下：

当x=10时，y=5.5+（5.5-4.5）×4=9.5，所以C（10，9.5），解得线段BC的解析式为y=0.8x+1.5.

（3）把点C的横坐标10（万升）错误地理解为31日当日的销售量.

错误过程如下：

当x=10时，y=（5.5-4.5）×10=10，所以C（10，10），解得线段BC的解析式为y=0.9x+1.

3.把A，B两点的纵坐标理解错，从而导致点C的纵坐标求错.

错误过程如下：

当x=10时，y=4+5.5+（5.5-4.5）（10-5）=14.5，所以C（10，14.5），解得线段BC的解析式为y=1.8x-3.5.此种解法也导致第（3）问答错.

4.其他错误

（1）单位错误：①不带单位，第（1）问答成当销售量为4时，销售利润为4万元；②不懂单位，不理解：元/升×万升=万元；③写错单位，如：吨、千克或是元.

（2）把点B，C的横纵坐标写反，有的可以看出对题意的理解没有问题，在求对了点B的横坐标和点C的纵坐标后，却把点B，C的横纵坐标写反，而导致线段AB，BC的解析式求错.

四、错误本质分析

1.对函数图像理解的误区

本题是一道一次函数应用题，学生比较关注图像信息，在根据点A的纵坐标求到点A的横坐标后，学生草率地利用同样的方式求出点B的横坐标，即用13日当日的销售单价减去成本价再乘以销售量得到销售利润（如错误1）.

学生虽然读到了13日销售单价与前面的变化，却错误地把点B的纵坐标理解成了13日当日的销售利润，从而导致出错.这种错误非常直接地影响了学生对问题本质的理解，是学生对函数图像理解上的误区.其中错误2（3）也是同样的原因导致出错.

2.信息提取运用能力的薄弱

本题作为应用问题，用到的基本数量关系是：销售利润=（售价-成本价）×销售量，这个基本的数量关系，即使题目条件中不作交代大多数学生也都能够得出.从学生的解题错误来看，主要错误还在于对标签中关于5月份销售记录的信息提取时出现了理解上的偏差.库存的6万升油中有4万升在1～13日以5元/升的单价销售完，有1万升在14～15日以5.5元/升的单价销售完，所以到15日时的销售利润应由两部分组成：4+（5.5-4）×1=5.5（万元）.还有1万升则在16～31日内售完.到31日时的销售利润则应由三部分组成：5.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11（万元）.从错误可以看出，学生对图表与文字表述中出现的数据信息提取并运用的能力比较薄弱，从而在解题中出现思维漏洞，导致出错.

五、教学启示

1.加强数学与生活实际的联系

本题出现的主要错误还是表现在对题意理解的偏差上，学生在利用一次函数的知识解决这个问题的过程中，出现了知识与生活实际脱节的现象，这可能与学生没有相关的生活经验，只是单纯地从数学知识的角度来理解有关.教学中，教师要有意识地引导学生关注生活，重视数学与生活实际的联系，帮助学生深入理解实际问题中的数学本质，那么学生也就能够走出对题意理解上的误区.

2.重视培养学生收集处理信息的能力

本题的信息量较大，学生在阅读过程中虽然提取到了解决问题所要用到的相关数据信息，但是在处理这些数据信息时却出现了错误.教学中，教师要重视培养学生收集处理信息的能力，特别是图表信息处理的能力，有效提取和运用图表信息是数学的一项基本素养.重视培养学生学会从表层信息中提取深层信息，学会对已有信息进行加工处理再生成新信息的能力.

六、试题改进建议

本题第（3）问只要直接写出答案，阅卷过程中发现有学生（1）（2）两问都不会，但却能够猜出第（3）问的答案.即使第（2）问解错，也能把第（3）问猜对.

其中有学生写出过程：OA段，5-4=1（元/升）；AB段，5.5-4=1.5（元/升）；BC段，5.5-4.5=1（元/升），所以AB段的利润率最大.这一过程是错的，但结果却正确.

建议本题第（3）问改为写出这三段利润率的大小关系，这样可以减少因为猜答案所带来的得分不平衡.