高中生数学问题表征能力个案分析

程勇

问题表征是认知活动中的中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现、如何表现出来的.问题表征能力即指个体将外部信息转化为内部信息，形成问题空间的能力.即指同学们明确问题给定条件，读懂题意、理解题意的能力.因此，数学问题表征能力成为影响数学问题解决的重要因素.

1.研究方法

采用“出声思维”对所执教的班级的两类同学进行对比分析.这两类同学随机抽取，甲类同学平时成绩比较优秀，思维较敏捷；乙类同学成绩中等偏下，思维比较迟钝.本次个案分析的目的是想了解优生与差生在表征数学问题时存在的主要差异及成因.

2.研究材料

材料1 设y=x2-10x+26+x2-2x+5，x∈R，求y的最小值.

材料2 有个和尚第一天日出从山底沿着山路时快时慢朝山顶走去，日落时刚好到达山顶.过了几天，他又在日出时沿着同样的路线下山，行走也是时行时歇的.虽然他行走的平均速度较上山快一些，不过也在近日落时到达山脚的.问：和尚在往返的路上是否会有一天中的同一时刻通过同一点？

3.解题实录

材料1解题实录：

甲类同学：这是一个求两个根式和的最小值的问题.刚拿到题目，感觉无处下手，但是尝试将两个根号下进行配方，得到：

y=x-52+0-12+x-12+0-22.

这样我突然想到两点间的距离公式，因此此题可以转换成在x轴上求一点，使它到（5，1）和（1，2）点的距离之和最小.而这类题目只需作出其中一点关于x轴的对称点，然后连接对称点和另外一点与x轴相交的交点的横坐标即可.

同学乙：两个根式的和求最小值的问题，从来没有见这类题.以我已有知识，只能这样做：将每个根式里面进行配方，但是配方后不能继续下去！当第一个取最小值时，第二不取最小值；当第二个取最小值时，第一个不取最小值，这样不知道如何继续下去！

材料2解题实录：

甲类同学：绝对有可能在同一时刻经过同一个地点.我可以把这个问题视作两个和尚同时上山和下山，他们在行进的过程中肯定会在某个时刻在某个地点相遇.

乙类同学：我觉得不可能在同一时刻经过同一个地点.因为题中说过了几天，他又沿着同样路线下山，行走的平均速度较上山快一些，他上山与下山时，日出到日落的时差不相同，因此不可能在同一时刻经过同一个地点.

4.差异分析

（1）表征所用的知识图式上存在着显著差异

优等生头脑中拥有大量的可利用的知识图式，这些图式可以促进问题的表征.优生在表征第1题时，配方以后马上就会想到两点间的距离公式，这种转换能力是建立在非常灵活掌握此部分知识的基础上，而差生不知道这种联系，运用了错误的表征，从而导致解题失败.

（2）表征问题的深度上存在着较大差异

差生不能抓住问题的本质，易被无关信息干扰，往往跳过关键信息，使用无关信息.如差生在表征第2题时，把关注点集中在“下山行走的平均速度较上山快”，而没有注意到“也是近日落时到达山脚的”.而优生能够迅速抓住问题的本质，将问题表征为两个人同时上下山，一定会在途中某个位置相遇.

（3）表征问题时的心理因素存在较大差异

研究表明，学生心理的焦虑水平和问题的解决呈负相关.优生表征问题时沉着冷静，能够做到有条不紊；而差生在表征难以解决的问题时，往往会产生急躁心理，还没等弄明白问题就急着要得出一个答案，甚至不管已知条件是否充足、所选择的策略是否有效，他们就开始胡乱地把已知条件拼凑在一起进行数学运算，结果思维越来越混乱，使问题得不到有效解决.

5.提出对策

（1）突出问题的基本特征

对于一个数学问题来说，我们要善于抓住并突出其基本特征，这是有效表征问题的一个重要途径.只有突出问题的基本特征，同学们的大脑中才会对这个问题的有用信息进行分析，而摒弃掉一些无关紧要的信息，这样才可以为很好地进行表征做好铺垫.

（2）注意表征方法的多样化

我们可以尝试让学生用多种表征方法来思考问题，通过表征多样化练习，从不同的表征方法中寻找最优方法.教师要创造性地使用教材，即注重一题多解、题题多变、多题一解的思维训练，设计一些具有不确定性，非唯一结论的问题，让学生在开放题的探索中，创造性思维得到发展.

（3）帮助学生使用适当的表征方法

同学们对一个数学问题都有自己的表征方法和内容，但是这些内容和方法是参差不齐的，存在一定的差异性，这种差异性因同学们的个性品质、知识结构不同而不同.因此我们应该帮助学生使用适合自己的表征.

（4）示范性表征方法的运用

由于多数教师重视解题过程而忽略表征过程，再加之教师很少向学生讲解常用的表征的方法，致使学生无“法”可依.因此，教师应该在教学中加强示范性表征方法的应用，使同学们做到“有法可依”.通过示范性表征方法的运用，帮助学生建立相应的策略运用模型，从而顺利地解决问题.