合情推理在初中数学解题中的应用

王爱芳

合情推理是一种合乎情理的推理方法，它是推理者根据自己的知识和经验，在一定情境和过程中做出的探索性的判断，主要包括观察、归纳、类比、实验、联想、矫正、猜想、估算等思维形式。逻辑推理用来确定数学知识，合情推理则用来为猜想提供依据。合情推理主要应用在没有现成的解题方法时寻找一条解题途径，就是从困难中找到出路，就是寻求一条绕过障碍的道路，由适当的方法达到所要去的而不能立即达到的目的。下面，通过例子说明合情推理在初中数学解题中的应用。

一、解方程组问题

初二有一道这样的例题：三角形的两条直角边长均为整数，它的周长为x cm，且面积是x cm2，这样的直角三角形有多少个？

解法：首先，设直角三角形三条边为a，b，c，其中a，b为直角边，c为斜边。根据勾股定理和已知条件，可列出下面三个方程：a2+b2=c2 （1） ，a+b+c=x（2），ab=x （3）。三个方程共四个未知数，就给解题带来一定困难。先从（2）和（3）得到：a+b+c= ab （4）。由方程（4）得到：c=ab-a-b 。

将此方程两边求平方整理后得：c2=ab（-a-b+2）+a2+b2 （5）。将方程（5）代入方程（1）整理后得：ab（-a-b+2）=0 （6）。在方程（6）中， ab≠0，必有：-a-b+2=0 （7）。整理后得到：a=4（2-b）/（4-b） （8）。

下面，进行合情推理解题。∵ a，b为正整数（两条直角边的长度） ，∴有下述两种情况：（1）2-b>0和4-b>0， （2）2-b<0和4-b<0。在第一种情况时，∵b<2 ，设b=1（b为正整数），则有a=，不符合题意，舍去；在第二种情况时，则可得到b>4，若b=5 时，a=12 ，若b=8 时，a=6 ，只有这两个值满足题目要求。因此，得到只有两个满足要求的直角三角形。这类题目，需要学生认真分析题干中所给的信息，提炼与问题有 关的部分，综合利用学过的不等式知识，作出合情的推理，才能正确解决问题。

二、代数讨论问题

试写出所有三个连续正整数立方和的最大公约数，并给出证明过程。

首先，要表示出任意三个连续正整数的立方和。三个连续正整数可以表示为n-1，n，n+1，其中n≥2。利用因式分解：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），所以，（n-1）3+n3+（n+1）3=（n-1）3+n3+（n+1）3-3（n-1）n（n+1）+3（n-1）n（n+1）=[（n-1）+n（n+1）][（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）]+3（n-1）n（n+1）=3n[（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）]+3（n-1）n（n+1）（1）

现在，计算（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）的值。只要先计算a2+b2+c2-ab-bc-ca的值，再将n-1，n，n+1，代入即可。

a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+b2+c2-2ab-

2bc-2ca=[（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-

2ca），于是，将a=n-1，b=n，c=n+1 代入即得（n-1）2+n2+（n+1）2-（n-1）n-n（n+1）-（n-1）（n+1）=3

其次，将立方和化为因式积的形式。（1）式右端3n·3+3（n-1）n（n+1）=3n（n2+2），即（n-1）3+n3+（n+1）3=3n（n2+2）。

由此可见，任何连续三个正整数的立方和均含有因子3。但是，若n能被3整除，则3n（n2+2）能被9整除；若n不能被3整除，则必有n2被3除余数是1，此时n2+2能被3整除。因此，无论怎样，3n（n2+2）都能被9整除。现在我们猜想，9就是所求的最大公约数。只要找到两个不同的正整数m，n使得3m（m2+2）与3n（n2+2）的最大公约数是9即可。取m=2，n=3，容易得到3m（m2+2）=36，3n（n2+2）=99，显然它们最大公约数为9，因此，所有三个连续正整数立方和的最大公约数是9。

相信大多数学生都能做到将（1）式化简为3n（n2+2）这一步。难点就是后面的分析过程，许多学生会认为3就是所求的最大公约数，其实这是不对的。对于这类问题，很多时候我们无法直接看出结果，需要通过合理分析猜想，验证我们的逻辑推理是否正确。所以，学生要掌握合情推理的方法和技巧，才能得到准确的结果。

三、数形结合问题

如图所示（图略），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，r为半径作圆。①当r满足（ ）时，直线AB与⊙C相离。②当r满足（ ）时，直线AB与⊙C相切。 ③当r满足（ ）时，直线AB与⊙C相交。④当r满足（ ）时， 线段AB与⊙C只有一个公共点。

此题，考查学生数形结合的能力和知识联系生活的能力。随着半径r的变化，线段CD的长度发生变化，点C到线段AB的距离也随之发生变化。学生可以联想到清晨太阳从地平线下冉冉升起的情景，把圆看做太阳，直线AB看做地平线，很容易理解这个问题。

初中阶段数学的学习过程是培养学生养成科学思维能力的重要环节。合情推理与逻辑推理是相辅相成的关系。在学习过程中，学生要善于观察，敢于猜想，敢于归纳，通过解题训练自己合情推理的能力，养成创造性思维的良好习惯；在教学活动中，教师不仅要教给学生如何进行逻辑推理，还要引导学生如何猜想、联想、观察，培养学生的合情推理能力。中学数学教育的根本宗旨是“教会学生思考”。教师要努力启发学生自己发现数学问题的解法，从而从根本上提高学生的解题能力。

（邳州市炮车中学）