堵住思维漏洞,再现教材严谨
2012-04-29姚善志
姚善志
思维的严谨性是数学素养之一.试想如果没有严谨性,我国的“天宫”一号能成功飞天吗?它的成功飞天要经历成千上万道程序,若某一道程序出了一点点问题,那后果是可想而知的。而江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书选修2-1数学》第98页例4的解法却有失严谨.
例4:已知E、F分别是正方体ABCD-ABCD的棱BC和CD的中点,求(1)AD与EF所成角的大小;(2)AF与平面BEB所成角的大小;(3)二面角C-DB-B的大小.
只看第三问的解答:平面BDC法向量=(-1,1,1),平面BDC的法向量=(-1,1,0),所以cos<||,||>==,由此可得向量与的夹角约为35.26°.根据图形可知二面角的平面角与这个夹角相等或互补,所以二面角C-DB-B约为35.26°.
从上面的解题过程我们可以归纳出求二面角大小的解题步骤是:(1)分别求出两个半平面的法向量;(2)求出两个法向量的夹角;(3)根据图形判断所求的二面角的类别,是锐角还是钝角,再根据判断写出结果.根据图形判断出所要求的二面角是锐角,还是钝角,只是意会层面的,使学生难以把握.右图所示的四面体ABCD中AB=BC=CA=2,BD=1,CD=.通过计算不难发现当AD=时,二面角A-BC-D是90°.那么当AD=2.2或AD=2.4时二面角A-BC-D大小接近90°.你能通过肉眼判断出二面角A-BC-D是锐角还是钝角?
我认为下面的做法是改进后的好方法:先来分析理论基础:要求二面角A-BC-D的大小,分别过点A、D作棱BC所在直线的垂线,垂足分别为E、F(即AE⊥BC,DF⊥BC),在面BCD内过点E作直线EG∥DF,交直线BD于G,则:AE⊥BC且EG⊥BC,AEC面ABC,EGC面BCD,则∠AEG就是二面角A-BC-D的平面角.而∠AEG的大小就是与的夹角(注意向量的终点为垂足).用这种方法解题就避免了“根据图形可知”的困惑了.现在让我来用这种方法解上述例4题的第3问:建立图示坐标系,棱长为1,过C、B分另作直线BD的垂线,垂足为G、H,则二面角C-BD-B的大小即为与的夹角.B(1,1,0),B(1,1,1),C(0,1,0),B(0,0,1)?圯=(1,0,1),=(-1,-1,0),设=λ+(1-λ),•=0得λ=推得=(,-,1).同理设=μ+(1-μ)得=(0,0,1).故cos<,>=.此处虽然作了垂足,却设而不求.
再举一例,以示方法的正确性(由2010年高考天津卷改编):如图,在长方体ABCD-ABCD中,E、F分别是棱BC、CC上的点,CF=AB=2•CE,AB∶AD∶AA=1∶2∶4,求二面角A-ED-F的余弦值(原题是求正弦值).
分析:不妨设AB=1,则AD=2,AA=4,CF=1,CE=,分别过A、F作棱二面角A-ED-F的棱ED所在直线的垂线,垂足分别为G、H.A(0,0,4),E(1,,0),D(0,2,0),F(1,2,1)?圯=(1,,-4),=(-1,,0),=(0,2,-4),设=λ+(1-λ),由•=0得λ=,=(,,-4),同理设=μ•+(1-μ),由•=0得μ=?圯=(-,-,-1)∴cos<,||>==÷(4×)=.
这种新方法的最大好处是:不用判断原二面角的类型(是锐角还是钝角),在新方法中只要知道二面角大小为两个垂向量(指向垂足的两个向量)夹角即可,且计算量较小.