圆锥曲线中定点问题的处理

杜海清

摘要： 在高考复习中，教师应让学生更加关注知识与方法的联系，体会这些方法的价值；使学生在综合性更强、能力要求更高的问题情境中准确、灵活地应用这些知识与方法.圆锥曲线作为解析几何的核心内容，已成为高考考查的重点.本文结合圆锥曲线中的定点问题的处理，浅议如何提高高三数学复习的有效性.

关键词： 圆锥曲线定点问题垂直相交弦非垂直相义弦

探究一：垂直相交弦的定点问题的处理

过曲线顶点的垂直相交弦问题：

例1.过椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点A（a，0）任意作两条互相垂直的弦PA，QA，求证：直线PQ过定点.

证明：设直线PQ：y=kx+n-km，定点（m，n）

则+=1y=kx+n-km?圯（b+ak）x+2ak（n-km）x+a［（n-km）-b］=0

设P（x，y），Q（x，y），则x+x=-，xx=

又•=（x-a）（x-a）+（y-0）（y-0）=0

即k（a-ba）+2（n-km）ak+（n-km）（a+b）=0

即k（a-ba-2am+ma+mb）+2k（na-mna-mnb）+n（a+b）=0

因为定点与k的值无关，所以m（a+b）-2am+a-ab=0na-mn（a+b）=0n（a+b）=0

解方程得m=n=0.即直线PQ过定点,0.

变式1.过抛物线y=2px的顶点任意作两条互相垂直的弦OP，OQ，求证：直线PQ过抛物线的对称轴上的一定点.

变式2.过双曲线-=1（a＞b＞0）的右顶点A任意作两条互相垂直的弦PA，QA，求证：直线PQ过定点.

探究二：非垂直相交弦的定点问题的处理

例2.（2010年高考江苏18改编）已知：椭圆+=1的左、右顶点为A，B，设过T（9，m）（m＞0）的直线TA，TB与椭圆交于M（x，y），N（x，y），其中y＞0，y＞0，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

证明：直线TA方程为：=，即y=（x+3），

直线TB方程为：=，即y=（x-3）.

分别与椭圆+=1联立方程组，同时考虑到x≠-3，x≠3，

解得：M（，），N（，-）.

当x≠x时，直线MN方程为：=

令y=0，解得：x=1.此时必过点D（1，0）；

当x=x时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）.

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).

高考数学的复习通常有三轮.在第一轮复习中，对数学概念、定理等基本知识进行梳理；在第二轮复习中，应使学生在巩固三基的基础上，从更高的角度认识数学知识的内在联系.那么，如何更高效地展开第二轮复习呢？

1.准确制定复习专题［１］

（1）把学生的问题确定为专题

数学教学就是问题教学，高考复习就是解决学生知识的缺失点、失分点.教师要在复习中，积极统计各次练习、考试中学生错误较多的问题，及时归纳整理，有针对性地展开专题研究，查漏补缺.当然，并不是所有问题都适合做专题，教师必须根据考试说明精心挑选.

（2）把高考的热点确定为专题

高考的热点即是重点.教师应当认真、仔细阅读大纲和考试说明，细心比较历年来考纲的变化，准确把握高考的重点，根据分值的分布，确定重点知识、重点题型、重点思想.

2.精心设计复习专题

高考数学试题强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”.因此，在专题复习中，教师务必抓住核心知识内容，通过变式和类比得到一类或几类问题的通性、通法，培养思维的变通性，在寻找多解与变通中提高思维能力，使学生能在解题过程中，自觉地运用这些方法、思想.

参考文献：

［1］万国全.高三数学二轮复习要注意的几个问题.中学数学教学，2010.5.