APP下载

圆锥曲线中定点问题的处理

2012-04-29杜海清

考试周刊 2012年4期
关键词:顶点定点变式

杜海清

摘要: 在高考复习中,教师应让学生更加关注知识与方法的联系,体会这些方法的价值;使学生在综合性更强、能力要求更高的问题情境中准确、灵活地应用这些知识与方法.圆锥曲线作为解析几何的核心内容,已成为高考考查的重点.本文结合圆锥曲线中的定点问题的处理,浅议如何提高高三数学复习的有效性.

关键词: 圆锥曲线定点问题垂直相交弦非垂直相义弦

探究一:垂直相交弦的定点问题的处理

过曲线顶点的垂直相交弦问题:

例1.过椭圆+=1(a>b>0)的右顶点A(a,0)任意作两条互相垂直的弦PA,QA,求证:直线PQ过定点.

证明:设直线PQ:y=kx+n-km,定点(m,n)

则+=1y=kx+n-km?圯(b+ak)x+2ak(n-km)x+a[(n-km)-b]=0

设P(x,y),Q(x,y),则x+x=-,xx=

又•=(x-a)(x-a)+(y-0)(y-0)=0

即k(a-ba)+2(n-km)ak+(n-km)(a+b)=0

即k(a-ba-2am+ma+mb)+2k(na-mna-mnb)+n(a+b)=0

因为定点与k的值无关,所以m(a+b)-2am+a-ab=0na-mn(a+b)=0n(a+b)=0

解方程得m=n=0.即直线PQ过定点,0.

变式1.过抛物线y=2px的顶点任意作两条互相垂直的弦OP,OQ,求证:直线PQ过抛物线的对称轴上的一定点.

变式2.过双曲线-=1(a>b>0)的右顶点A任意作两条互相垂直的弦PA,QA,求证:直线PQ过定点.

探究二:非垂直相交弦的定点问题的处理

例2.(2010年高考江苏18改编)已知:椭圆+=1的左、右顶点为A,B,设过T(9,m)(m>0)的直线TA,TB与椭圆交于M(x,y),N(x,y),其中y>0,y>0,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

证明:直线TA方程为:=,即y=(x+3),

直线TB方程为:=,即y=(x-3).

分别与椭圆+=1联立方程组,同时考虑到x≠-3,x≠3,

解得:M(,),N(,-).

当x≠x时,直线MN方程为:=

令y=0,解得:x=1.此时必过点D(1,0);

当x=x时,直线MN方程为:x=1,与x轴交点为D(1,0).

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).

高考数学的复习通常有三轮.在第一轮复习中,对数学概念、定理等基本知识进行梳理;在第二轮复习中,应使学生在巩固三基的基础上,从更高的角度认识数学知识的内在联系.那么,如何更高效地展开第二轮复习呢?

1.准确制定复习专题[1]

(1)把学生的问题确定为专题

数学教学就是问题教学,高考复习就是解决学生知识的缺失点、失分点.教师要在复习中,积极统计各次练习、考试中学生错误较多的问题,及时归纳整理,有针对性地展开专题研究,查漏补缺.当然,并不是所有问题都适合做专题,教师必须根据考试说明精心挑选.

(2)把高考的热点确定为专题

高考的热点即是重点.教师应当认真、仔细阅读大纲和考试说明,细心比较历年来考纲的变化,准确把握高考的重点,根据分值的分布,确定重点知识、重点题型、重点思想.

2.精心设计复习专题

高考数学试题强调“注意通性通法,淡化特殊技巧”.因此,在专题复习中,教师务必抓住核心知识内容,通过变式和类比得到一类或几类问题的通性、通法,培养思维的变通性,在寻找多解与变通中提高思维能力,使学生能在解题过程中,自觉地运用这些方法、思想.

参考文献:

[1]万国全.高三数学二轮复习要注意的几个问题.中学数学教学,2010.5.

猜你喜欢

顶点定点变式
例谈圆锥曲线中的定点定值问题
定点帮扶让村民过上美好生活
过非等腰锐角三角形顶点和垂心的圆的性质及应用(下)
解析几何中定点问题的处理策略
直线过定点的5种特优解法
一道拓广探索题的变式
聚焦正、余弦定理的变式在高考中的应用
关于顶点染色的一个猜想
课后习题的变式练习与拓展应用
问题引路,变式拓展