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恒成立问题中的“交、并、补”

2012-04-29王冬保

考试周刊 2012年4期
关键词:所求中学数学实例

王冬保

摘要: 近几年的高考试题中,有很多涉及不等式的恒成立问题和存在性问题,不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法,而且考查了导数等新增知识掌握情况和灵活运用,充分体现了能力立意的原则,越来越受到高考命题者的青睐.本文对恒成立问题的解集如何进行合理的处理进行了简明的阐述.

关键词: 恒成立问题交集并集补集

恒成立问题是高中数学中的常见问题,是高考中的一个热点,更是一个难点.在平时的教学中,我们经常会遇到这样的问题:当把恒成立问题向基本类型转化,分情况进行讨论的时候,最后的解集该怎么确定呢?大部分学生总是按照先取交集后取并集的程序完成,这样往往会导致错解.针对这一问题,本文将结合以下两个实例,谈谈如何对恒成立问题的解集进行合理的处理.

例1:已知不等式|a-2x|>x-1,对x∈[0,2]恒成立,求a取值范围.

解法1:对已知变量x进行讨论,将恒成立问题转化为最值问题:

原不等式化为x-1<0a∈R①或x-1≥0a-2x>x-1或a-2x<-(x-1)②

由②式得x≥1a>3x-1或a<x+1③

对于③式,即x∈[1,2]恒成立,

即a>[3x-1]=3×2-1=5或a<[x+1]=1+1=2.

∴{a|a∈R}∩{a|a>5或a<2}={a|a>5或a<2}

说明:解法1对已知变量x进行讨论,分x<1和x≥1两种情况,每种情况得到的a值对该部分的已知变量x成立,而我们要对任意的x∈[0,2]都成立,故取其两种情况的公共解,即其两种情况的交集.

解法2:转化为其否定形式,将恒成立问题转化为有解问题:

?埚x∈[0,2],使得|a-2x|≤x-1成立,即当x∈[0,2]内不等式|a-2x|≤x-1有解.

∵|a-2x|≤x-1?圳x-1<0a∈?覫或x-1≥0-x+1≤a-2x≤x-1

∴x≥1x+1≤ax≤3x-1

故只需x∈[1,2]内,有[x+1]≤a≤[3x-1]

∴2≤a≤5

∴a∈(-∞,2)∪(5,+∞)[1]

说明:解法2将恒成立问题转化为其否定形式,得到的a值是恒成立问题的反面,故取其解集的补集.

同理,本文例2的恒成立问题,可采用同种方式处理.

例2:已知函数f(x)=|x-a|+(x>0),欲使f(x)≥恒成立,求a的取值范围.

解:对已知变量x进行讨论,故取其交集:

①当-≥0时,即x≥2,原不等式等价于

a-x≥-或a-x≤+

∴a≥x-+或a≤x+-

而x-+在[2,+∞)上递增,值域为[2,+∞),无最大值,

故a≥x-+的a不存在.

∴a∈?覫.

又x+-在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又x∈[2,+∞),[x+-]=2,

∴a≤2

由于是“或”的联结,a是以上两集合并集

∴a≤2.

②当-<0时,即0<x<2时,故a∈R.

综上所述,欲使f(x)≥恒成立,故a≤2.

从以上两个实例可以看出:在恒成立问题中,当我们对变量进行分类讨论的时候,每种情况只对部分的已知变量成立,故所求参数的解集是各种情况的交集;当我们对所求的参数进行分类讨论的时候,每种情况对所有已知变量都恒成立,故所求参数的解集是各种情况的并集;当我们把恒成立问题转化为有解问题的时候,即恒成立问题的否定形式,故取其补集.所以,在处理恒成立问题的解集时,不能机械地看最后是取“并”、取“交”还是取“补”,而是要看对谁讨论,求的又是那个变量的范围,具体问题具体分析.

参考文献:

[1]蔡德华.含参数的不等式|a-f(x)|>g(x)恒成立问题的一个常见错误.中学数学教学参考,2008.8.

[2]简绍煌.从题目错解反思含绝对值不等式的解法.中学数学教学参考,2009.1.

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