恒成立问题中的“交、并、补”

王冬保

摘要： 近几年的高考试题中，有很多涉及不等式的恒成立问题和存在性问题，不仅考查了函数、不等式等传统知识和方法，而且考查了导数等新增知识掌握情况和灵活运用，充分体现了能力立意的原则，越来越受到高考命题者的青睐.本文对恒成立问题的解集如何进行合理的处理进行了简明的阐述.

关键词： 恒成立问题交集并集补集

恒成立问题是高中数学中的常见问题，是高考中的一个热点，更是一个难点.在平时的教学中，我们经常会遇到这样的问题：当把恒成立问题向基本类型转化，分情况进行讨论的时候，最后的解集该怎么确定呢？大部分学生总是按照先取交集后取并集的程序完成，这样往往会导致错解.针对这一问题，本文将结合以下两个实例，谈谈如何对恒成立问题的解集进行合理的处理.

例1：已知不等式|a-2x|＞x-1，对x∈［0，2］恒成立，求a取值范围.

解法1：对已知变量x进行讨论，将恒成立问题转化为最值问题：

原不等式化为x-1＜0a∈R①或x-1≥0a-2x＞x-1或a-2x＜-（x-1）②

由②式得x≥1a＞3x-1或a＜x+1③

对于③式，即x∈［1，2］恒成立，

即a＞［3x-1］=3×2-1=5或a＜［x+1］=1+1=2.

∴{a|a∈R}∩{a|a＞5或a＜2}={a|a＞5或a＜2}

说明：解法1对已知变量x进行讨论，分x＜1和x≥1两种情况，每种情况得到的a值对该部分的已知变量x成立，而我们要对任意的x∈［0，2］都成立，故取其两种情况的公共解，即其两种情况的交集.

解法2：转化为其否定形式，将恒成立问题转化为有解问题：

?埚x∈［0，2］，使得|a-2x|≤x-1成立，即当x∈［0，2］内不等式|a-2x|≤x-1有解.

∵|a-2x|≤x-1?圳x-1＜0a∈?覫或x-1≥0-x+1≤a-2x≤x-1

∴x≥1x+1≤ax≤3x-1

故只需x∈［1，2］内，有［x+1］≤a≤［3x-1］

∴2≤a≤5

∴a∈（-∞，2）∪（5，+∞）［１］

说明：解法2将恒成立问题转化为其否定形式，得到的a值是恒成立问题的反面，故取其解集的补集.

同理，本文例2的恒成立问题，可采用同种方式处理.

例2：已知函数f（x）=|x-a|+（x＞0），欲使f（x）≥恒成立，求a的取值范围.

解：对已知变量x进行讨论，故取其交集:

①当-≥0时，即x≥2，原不等式等价于

a-x≥-或a-x≤+

∴a≥x-+或a≤x+-

而x-+在［2，+∞）上递增，值域为［2，+∞），无最大值，

故a≥x-+的a不存在.

∴a∈?覫.

又x+-在（0，1］上递减，在［1，+∞）上递增，又x∈［2，+∞），［x+-］=2，

∴a≤2

由于是“或”的联结，a是以上两集合并集

∴a≤2.

②当-＜0时，即0＜x＜2时，故a∈R.

综上所述，欲使f（x）≥恒成立，故a≤2.

从以上两个实例可以看出：在恒成立问题中，当我们对变量进行分类讨论的时候，每种情况只对部分的已知变量成立，故所求参数的解集是各种情况的交集；当我们对所求的参数进行分类讨论的时候，每种情况对所有已知变量都恒成立，故所求参数的解集是各种情况的并集；当我们把恒成立问题转化为有解问题的时候，即恒成立问题的否定形式，故取其补集.所以，在处理恒成立问题的解集时，不能机械地看最后是取“并”、取“交”还是取“补”，而是要看对谁讨论，求的又是那个变量的范围，具体问题具体分析.

参考文献：

［1］蔡德华.含参数的不等式|a-f（x）|＞g（x）恒成立问题的一个常见错误.中学数学教学参考，2008.8.

［2］简绍煌.从题目错解反思含绝对值不等式的解法.中学数学教学参考，2009.1.