来自学生的惊喜

陈建参

摘要： 解析几何中的圆锥曲线问题，可以转化为函数、导数、三角、向量、不等式等代数问题来求解.在教学中可以通过一题多解，培养学生熟练运用代数方法解决几何问题的能力.

关键词： 高三复习课圆锥曲线问题代数解法一题多解

高三复习课上，如果教师能有针对性地选择每节课的典型例题，让学生有意识地进行预先训练，然后通过课前搜集整理，把学生的各种各样解法通过多媒体形式播放，让所有学生都能欣赏到各种不同解法，做到既来源于学生又服务于学生，就能激发学生的学习兴趣，促进学生整体思维品质发展，培养学生思维的开放性，促进创新意识的发展，又能很好地达到学生对复习知识点和提高知识点的熟练运用，实现复习效果的最大化.下面通过一个例子加以说明.

例题：已知点A、D分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上任意一点，点F、F分别是椭圆的左、右焦点，且•的最大值是1，最小值是-.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的一点，直线AS、直线BS与直线l:x=分别交于M、N两点，求|MN|的最小值.

解：（1）（解法一）设P（x，y），F（-c，0），F（c，0），其中c=，

则=（-c-x，-y），=（c-x，-y），•=x+y-c.

因为P在线段AD上，则x+y可以看做原点O至P点距离的平方，易知当P与A点重合时，x+y取最大值a，当OP⊥AD时，x+y取最小值.

由题意得a-c=1-c=-，解得a=4，b=1，即椭圆的方程为+y=1.

【点评】此解法用直接法解题，求最值时转化为几何意义.

（解法二）设P（x，y）（-a≤x≤0），∵直线AD:y=x+b，∴•=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x+y-c=x+x+b-c=（x+）+-c（-a≤x≤0）

∵a+b＞b＞0，∴＜1，∴-a＜-，∴-c=①

又x=-a时•=b，x=0时•=b-c，且b＞b-c，∴b=1②

由①、②得a=4，b=1，∴椭圆的方程为+y=1.

【点评】此解法是转化为二次函数的最值问题直接求解.

（解法三）设线段AD:+=1，则可设P（x，）（-a≤x≤0），又F（-c，0），F（c，0），

∴=（-c-x，-b-），=（c-x，-b-），•=x-c+（b+）=x+x+b-c.

设f（x）=x+x+b-c，则f′（x）=（+2）x+，由f′（x）=0得x=-＞-a.

∴f（x）在（-a，-）上递减，在（-，0）上递增，又f（-a）=b＞2b-a=f（0），

∴f（x）=f（-a）=b=1，得x=-=-且f（x）=f（）=-得a=2.

∴椭圆的方程为+y=1.

【点评】此解法精彩在于转化为二次函数的最值，利用导数求解，显示学科内知识的交叉.

（解法四）依题意得A（-a，0），D（0，b），F（-c，0），F（c，0），设=λ，则=（λa，λb），由A（-a，0）得P（λa-a，λb），∴=（-c-（λ-1）a，-λb），∴=（c-（λ-1）a，-λb），

∴•=-［c+（λ-1）a］•［c-（λ-1）a］+λb=（a+b）λ-2aλ+a-c（0≤λ≤1），

则当λ==时•取最小值，得-+b=-①，

又λ=0时•=a-c=b，λ=1时•=2b-a＜b，∴b=1得a=4，∴椭圆的方程为+y=1.

【点评】利用向量关系描述点坐标关系，显然学生对知识的迁移比较成功.

（解法五）由题意知（+）=|2）|（-）=得++2•=4+-2•=4c，

∴4•=4-4c即•=-c.

∵P在线段AD上，∴当P在A处时最大，当OP⊥AD时，取得最小值，

又易知直线AD方程为bx-ay+ab=0，∴点O到直线AD的距离为d=.

∴a-c=1d-c=-a=b+c得b=1a-c=1-c=-，解得a=2，∴椭圆的方程为+y=1.

【点 评】利用向量的关系解题是本解法的可贵之处，其中（+）=|2|的运用显示学生对向量知识掌握及运用的熟练程度.

（2）（解法一）由题意知直线AS的斜率存在，则直线AS的方程可设为 y=k（x+2）（k＞0）.

由y=k（x+2）x=得M点的坐标为（，），

由y=k（x+2）x+4y=4得（1+4k）x+16kx+16k-4=0，且△=16＞0①，设S的坐标为（x，y），则x和-2是方程①的两个根，

则x•（-2）=，得x=，∴y=k（+2）=，

∴直线BS的斜率为=-，则直线BS的方程可设为y=-（x-2）.

由y=（x-2）x=得N点坐标为（，-），∴|MN|=|+|≥2=当且仅当=即k=时取等号，故|MN|的最小值为.

【点评】此解法为常规的设而不求方法.

（解法二）设AS：x=my-2，由+y=1x=my-2得（my-2）+4y-4=0，

即（4+m）y-4my=0，∴y+y=得y=，∴x=得S点坐标为（，），

∴l∶y=（x+2）=（x+2），l∶y=（x-2）=-（x-2），

∴|MN|=||+||≥2|=，当且仅当||==||即|m|=8时，|MN|取最小值为.

【点评】此解法与解法一类似，不同之处在于直线的形式不同.

（解法三）可设M（，m）、N（，n），则l∶y=（x+2），l：y=（x-2），

由y=（x+2）y=（x-2）得S（，），又已知S在椭圆上，代入椭圆方程得（）+4（）=4，即16n+32mn+m+225mn=16n-32mn+m.

∴mn=-得|m|•|n|=，∴|MN|=|m|+|n|≥2=2×=当且仅当|m|=|n|=时等号成立，故|MN|的最小值为.

【点评】此解法的精彩在于直接设点M、N坐标求解.

（解法四）依题意设S（2cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），又A（-2，0），B（2，0），

∴AS∶y=（x+2）得M（，），BS∶y=（x-2）得N（，），

∴|MN|=•|+|=•=•，

令=t，则15cosθ+tsinθ=17得sin（θ+φ）=17（其中tanφ=），

∴≥17得t≥8，∴|MN|≥.

【点评】利用椭圆上点的参数坐标，转化为三角函数问题，显示学生对三角函数知识的熟练掌握.

（解法五）设AS∶y=k（x+2），BS∶y=k（x-2），依题意k＞0，k＜0，设S（x，y），则+y=1，∴k=，k=得kk===-，∴k=-，

∴|MN|=k（+2）-k（-2）=（16k-k）=（16k+）≥×2=当且仅当16k=即k=时等号成立，故|MN|的最小值为.

【点评】此解法直接假设直线的斜率，通过探求得到斜率关系，体现学生具备一定的探索求解能力.

（解法六）设S（x，y），又A（-2，0），B（2，0），∴AS∶y=（x+2），BS∶y=（x-2）

∴M（，），N（，）得|MN|=|-|=||.

设w=||，∵y=1-=（4-x），∴w==，

令15x-34=t，则x=，∴w======.

∵-2≤x≤2，∴-64≤t≤-4得-≤≤-，∴-4≤≤-.

∴=-时w取最小值16，即w≥16得w≥4，∴|MN|≥.

【点评】此解法运算比较麻烦，能够顺利求解显示学生具有很好的运算求解能力.

综合以上来看，解析几何中的圆锥曲线问题，可以转化为函数、导数、三角、向量、不等式等代数问题，从而体现学生的运算求解能力和探索求解能力，体现解析几何的特征，培养学生熟练用代数方法解决几何问题的能力.

高三的数学复习，可以采用这样的复习形式，让学生成为复习课的主人，往往会收到令人意想不到的效果.