初中数学最值问题的解法

赵秀琴

摘要： 最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中考当中都经常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等方面的能力。

关键词： 初中数学最值问题解法

最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中考当中都经常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等方面的能力.下面就数学中常见的最值问题和解法介绍如下.

一、平面几何的最值问题

平面几何的最值问题是一类常见的题型，它涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度，下面介绍一种利用“轴对称”巧解最值问题的方法，举例说明.

例1：A、B两点在直线L的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小.

分析：在直线L上任取一点P′，连接AP′，BP′，在△ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，则P′必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误.取点A关于直线L的对称点A′，则AP′＝AP，在△A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，当P′移到A′B与直线L的交点处P点时PA′+B′P′＝A′B，所以这时PA+PB最小.

二、利用函数的性质求最值问题

1.一次函数、反比例函数性质的应用

一次函数和反比例函数在它们的定义域内都没有最值，但在实际应用问题当中，自变量在一定范围内取值时，由函数的增减性知函数有最值.

例2：学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用一台刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘费）.刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省还是自刻费用省？请说明理由.

分析：这里刻录光盘的张数不知道，所需费用随光盘张数的增大而增大，需建立一个函数关系.

解：设需刻录x张电脑光盘，则到电脑公司刻录需y=8x元，自录刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;当x＞30时，y-y＞0，∴y＞y;当x=30时，y-y=0，∴y=y;当x<30时，y-y<0，∴y

答：当刻录光盘数多于30张时，自刻费用省；当刻录光盘数等于30张时，两者一样；当刻录光盘数少于30张时，到电脑公司刻比较省.

2.二次函数性质的应用

一般情况下，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的最值由顶点坐标来确定，这是大多数同学容易掌握的.但有时受自变量取值范围的影响，函数的最值不是由顶点坐标来确定，这种情况很容易被学生所疏忽.下面列举几例说明.

例3：某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，假设这种品牌的彩电每台降价100x（x为正整数）元，每天可以多销售出3x台.（注：利润=销售价－进价）

（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？

分析：（1）销售每台彩电获利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天销售量为（6+3x）台，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.

（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.

顶点为（，9075），又因为x为正整数，所以当x=3或4时，y取最大值，且为9000元.当x=3时，销售价为每台3600元，销售量为15台，营业额为3600×15=54000元；当x=4时，销售价为每台3500元，销售量为18台，营业额为3500×18=63000元.通过对比发现，当销售价为每台3500元时，能保证销售量和营业额均较高.

小结：本题顶点（，9075），不能作为二次函数图像的最高点的原因是x不能取小数，所以做题时要注意审题（题中括号内已说明x为正整数），不能放过每一个细节.

因此，做二次函数最值这一类题目时，要充分挖掘题目中的隐含条件，正确求出自变量的取值范围。有两种方法可求出最值：①几何方法：画出函数图像，找出图像中的最高点（或最低点），从而求出当自变量为何值时，函数的最大值（或最小值）是多少？②代数方法：首先判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在，它就是最值点；若不在，它就不是最值点，然后另寻它点.

三、利用不等式求最值问题

例4：某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？

分析：本题是消费购物设计型问题，解决这类问题的基本思路是从实际问题中寻找等量（或不等量）关系，通过购建方程（或函数、不等式）模型，从中寻找解决问题的最佳方案.

解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台.

由题意，得7x+5(6-x)≤34;解这个不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台.

（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个.

因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二.

以上总结的三种类型是初中数学求最值问题常见的类型，遇到这类问题之后只要认真审题，理清思路，就一定会找到最合理的解法.