数学解题中的化归思想

李健红

化归思想就是把待解决或难解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答.化归思想是一种最基本的数学思想，学习和掌握转化思想，有利于我们从更高层次上去揭示、把握数学的知识、方法之间的内在联系，树立辩证的观点，提高分析问题和解决问题的能力.

一、化归的基本思想

“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：

其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.

二、化归的基本原则

在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.

三、化归的基本类型

1.常量与变量的转化

在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.

例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.

分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.

解：将原方程以a作变元，重新整理，得

a（x+2）=2x+7①

显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有

a=（x≠-2）②

若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）

解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.

2.数与形之间的转化

数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.

例2.求函数f（x）=的值域.

分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.

解：设y=，则

f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.

图1

3.一般与特殊的转化

若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.

例3.设f（n）=++…+（n∈N），那么f（n+1）-f（n）等于（）

A.B.C.+D.-

分析：本题可以直接算出f（n+1）与f（n），再算出f(n+1)-f(n)的结果也是行得通的，只是较麻烦.考虑f（n）对所有的自然数都成立，故只取特殊值检查即可.

解：取n=1，则有f（2）-f（1）=（+）-=显然只有-=-=，因此选D.

4.相等与不相等之间的转化

相等与不相等是两个不同意义的概念，在一些特定的条件下是可以互相转化的，这些转化可以使原问题变得简单.

例4.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .

分析：结论要的是关于ab的，而条件给的是a+b的关系，因此需要把a+b转化为ab的关系.联想到均值不等式a+b≥2，将原等式转化为不等式处理.

解：由a、b为正数，知a+b≥2.

又由已知ab=a+b+3，所以ab≥2+3

即（）-2-3≥0

解得≤-1（不符合平方根的意义，舍去），≥3

∴ab≥9，即ab的取值范围是［9，+∞）.

5.实际问题与数学模型的转化

这种思想，实质上是数学建模的思想.数学建模的关键是如何将实际问题转化为一个数学问题，从而解决它.需要具有一定的文字阅读能力、理解能力，对数学知识的应用能力.

例5.经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）=-t+（t∈N，0＜t≤100），在前40天内价格为f（t）=t+22（t∈N，0≤t≤40），在后60天内价格为f（t）=-t+52（t∈N，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值（近似到1元）.

分析：由于在实际中，销售额=销售量×价格，因此可以建立函数关系式.

解：前40天内日销售额S为：

S=（t+22）（-t+）=-t+t+799

∵S=-（t-）+799+9

∵0＜t≤40，t∈N

∴当t=10或t=11时，S=808.5≈809

后60天内日销售额为：

S=（-t+52）（-t+）=t-t+

∴S=（t-）-

∵40＜t≤100，t∈N，

∴当t=41时，S=714

综上所述，当t=10或t=11时，S取得最大值，且S≈809.

答：第10天或第11天日销售额的最大值为809元.

6.各数学分支之间的相互转化

中学的数学分支较多，虽然知识点各有不同，但它们之间却有很多联系，因此，把数学的各个分支相互转化是一个重要的解题策略.比如说立体几何中问题，有很多都是转化为其他分支的知识来解决的.

例6.如图2，在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

图2

（1）求证：SC⊥BC；

（2）求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小；

（3）求异面直线SC与AB所成的角的大小.

分析：立体几何中的线线、线面、面面的位置关系大都可以通过转化，由此建立它们的相互关系，从而使问题得到解决.

证明：（1）由已知∠SAB=∠SAC=90°，知SA⊥SB，SA⊥AC.显然AB与AC相交于点A，所以有直线SA⊥平面ABC.由于∠ACB=，即有BC⊥AC，由三垂线定理，可得SC⊥BC.

（2）∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成的二面角的平面角.

在直角三角形SCB中，由BC=，SB=，得

SC===4.

在直角三角形SAC中，由AC=2，SC=4，得

cos∠SCA==

所以∠SCA=，侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小为.

（3）如图3，过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线，交CD于D，连接SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角，又四边形ABCD是平行四边形.

图3

BC=AB==

SA==2，

SD=+=5

在△SCD中，cos∠SCD=

==

所以，SC与AB所成的角的大小为arccos.

数学教育和素质教育所提倡的“过程教学”中的“过程”指的是数学概念、公式、定理、法则的提出过程、知识的形成发展过程、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程.只有在平时的学习中注意了这些“过程”，才能提高自己独立解决问题，自主获取知识，不断探索创新的能力；也只有利用所学数学知识去探求新知识领域，去研究解决实际问题，才是数学教学与学习的最终目的.

参考文献：

［1］钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社.

［2］薛金星.怎样解题.北京：北京教育出版社.