具有泛分解态射的加权Moore-Penrose逆
2012-04-29张仕光
摘要: 本文研究了范畴£中具有泛分解态射f=pgq关于对称态射β,γ的加权Moore-Penrose逆,并给出了其存在的充要条件及其表达式.
关键词: 态射泛分解加权Moore-Penrose逆
1.引言及定义
1972年Davis在范畴中引进了态射的广义逆[1],引起了国内外众多学者的兴趣,对此做了大量的工作,已取得了一系列研究成果.文[2,3]主要研究具有泛分解态射的广义逆,得到了一些重要结果.文[4]主要研究具有满单分解态射的加权Moore-Penros逆,得到了一些重要结果.本文将在文[4]的基础上考虑范畴中具有泛分解态射f=pgq关于对称态射β,γ的加权Moore-Penrose逆,并给出其存在的充要条件及其表达式,推广了文[4]的相应结论.
为方便讨论,首先引进有关的概念.
定义1.1[2]设£是一范畴,对象X,Y,Z∈£,态射f∈M(X,Y).设f可分解成态射的合成:f=pgq,其中p∈M(X,Z),g∈M(Z,Z),q∈M(Z,Y),若存在态射P′∈M(Z,X),q′∈M(Y,Z),使得p′pg=g=gqq′成立,则f=pgq为f的通过对象I的一个泛分解.
定义1.2[4]设£是带有对合*的范畴,对象X,Y∈£,f∈M(X,Y)是£的态射,β∈M(X,X)与γ∈M(Y,Y)是£的对称态射,若x∈M(Y,X)满足:
(1)fβxγf=f;(2)xγfβx=x;(3)(fβx)=fβx;(4)(xγf)=xγf.
2.主要结果
引理2.1[4]设f∈M(X,Y)为范畴£中态射,β∈M(X,X)与γ∈M(Y,Y)是£的对称态射,则以下命题等价:
(1)f关于对称态射β,γ的加权Moore-Penrose逆存在;
(2)存在态射u,v∈M(X,Y),使得ufγf=f=fβfv;
此时有:f=vfu.
定理2.1设f∈M(X,Y)为范畴£中态射,β∈M(X,X)与γ∈M(Y,Y)是£的对称态射,f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解,则f存在当且仅当存在对称态射β,γ∈M(Z,Z),使得(pg)与(gq)存在.
证明:“?坩”由pgβ(pg)γpg=pg,gqβ(gq)γgq=gq和f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解得知:gβ(pg)γpg=g,gqβ(gq)γg=g.
令x=(gq)γgβ(pg),则可得x=f.
“?圯”取β=i,γ=i,由f的定义可得fβfγf=f,即得pgqβfγpgq=pgq,再由f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解得gqβfγpg=g.
令x=gqβf,y=fλpg,直接验证可得x=(pg),y=(gq).
定理2.2设f∈M(X,Y)为范畴£中态射,β∈M(X,X)与γ∈M(Y,Y)是£的对称态射,f=pgq为f的通过对象Z一个泛分解,g=g,则以下命题等价:
(1)f关于对称态射β,γ的加权Moore-Penrose逆存在;
(2)存在态射ρ,σ∈M(X,Y),使得ρfγpg=g,gqβfσ=g;
此时有:f=(σgq)f(pgρ).其中ρfγpg=g,gqβfσ=g.
证明:(1)?圯(2)令x=f,由p(gqβxγxβ)(fγpg)q=fβxγfβxγf=pgq,
可得:(gqβxγxβ)(fγpg)=g,令ρ=gqβxγxβ即得.
再由p(gqβf)γxβxγpgq=fβxγfβxγf=pgq.可得:
(gqβf)γxβxγpg=g,σ=γxβxγpg.
(2)?圯(1)若ρfγpg=g,gqβfσ=g,则pgρfγpf=f=fβfσgq,由引理2.1[4]得:f=(σgq)f(pgρ).
参考文献:
[1]Davis DL,Robinson DW.Generalized inverse of morphisms[J].Linear algebra application.,1972,5:319-328.
[2]江声远,刘晓冀.具有泛分解的态射的广义逆[J].数学学报,1999,42,(2):233-240.
[3]曹永知,朱萍.关于具有泛分解的态射的广义逆[J].数学学报,2001,44,(3):559-566.
[4]朱萍,曹永知.态射的加权Moore-Penrose逆[J].数学物理学报,2001,21A,(1):36-42.
[5]刘晓冀,张仕光.具有核的态射的w-加权Drazin-逆[J].数学物理学报,2009,21A,(3):741-750.
[6]Wang Guorong,etc.,“Generalizedinverses:Theory and Computations”,Science Press,Beijing/New York,2004:26-33.
基金项目:河北省高等学校科学研究计划项目(Z2010188)