数学方法在物理学研究中的运用

班国勇

【摘要】文章通过介绍物理学与数学的联系。提出了在物理学研究中把数学形式与物理规律、物理图像等紧密联系起来，达到提高学生分析、解决物理学问题的能力，为开启从事物理学工作的教师探索性思维、创造性研究提供参考。

【关键词】数学方法；物理学研究；运用

1物理学与数学的联系

自然界中的一切事物都是质和量的统一体，认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察，量变到质变是事物发展的普遍规律。反映事物本质属性及其规律的物理学，不仅应有正确的定性描述，还必须准确地刻划出量的变化规律，而且也只有当物理学由定性进入到定量的阶段，才算是真正把握住了事物的质，才标志着物理学已经成熟，这当然离不开数学。16世纪以后，物理学逐渐发展成为一门成熟的自然科学，它不仅用实验方法代替了以往整体的观察法而且引进了数学方法。在物理学研究中针对研究对象不同的特点，运用数学概念、方法和技巧，对研究对象进行量的分析、描述、计算和推导，从而找出能以数学形式表达事物的量的规律性。数学在物理科学中取得的成就有目共睹:从牛顿的经典力学到狭义相对论以及广义相对论；从麦克斯韦方程组中的电与磁到量子力学中波粒二象性的对立统一，数学无时不在帮助陈述与帮助揭示自然的奥秘。近代科学是以物理学为标志的，其重要原因之一，就是它能以精确的数学形式表示出物体的运动规律，开创了科学实验同数学相结合的方法。现代物理学则发展到了与数学须臾不离的地步，现代物理学的研究对象离直观越来越远，需要反映其内在联系的自然现象或实验事实越来越复杂，欲想对其进行定量分析和深入研究，就非用数学不可，用数学不但能准确地反映出已知事物的本质联系，而且能做出科学预见，取得重大的突破。现代物理的一切重大发现，都与数学的应用密切相关。物理学发展对数学的需要恰好在数学发展上起了直接的决定性的推动作用，如微积分是牛顿在处理物理问题时，用已有的数学知识没法解决的前提下创立的。在历史上牛顿等很多物理学家也是数学家。

2数学方法在物理学研究中的运用

（1）用数学思想与方法表述物理概念。概念是思维的基本单位，也是最基本的思维形式。物理概念不仅仅是实践发展的产物，同时也是抽象思维的结果。数学思想与方法的应用，给这一抽象、概括提供了最理想的工具。在物理研究中，用数学思想与方法对各种物理概念进行数量方面的描述形成了各种物理量。物理量体现了质与量的统一。物理概念的建立，可以理解为对物理量的确切表述。

（2）用数学思想与方法描述物理规律。数学思想与方法给物理规律的描述提供了最简洁、最准确的表达方式。如用方程函数思想描述物理规律有:自由落体运动的位移与速度的变化规律:S =1/2gt2、v = gt，闭合电路中电流的变化规律:I =ε/R+ r，正弦交流电的变化规律:i = Imsinωt，等等。又如:已知一物体作变速直线运动，其速度u是时间的函数，求物体由时刻t = a到t = b这段时间内所经过的路程S。这里可用分割、代替、求和、取极限的数学方法建立数学模型，把物理学上较为复杂的变速直线运动明确地表示出来。再如:在初速度为零的匀变速直线运动中，假设物体经过t秒通过的位移为S1，经过2t秒通过的位移为S2，经过3t秒通过的位移为S3……，则根据初速度为零的匀变速直线运动的位移公式:S1=12at2，S2=12a(2t)2，S3=12a(3t)2……，得到S1∶S2∶S3∶……=12∶22∶33∶……，即可得出结论:在初速度为零的匀变速直线运动中，物体所通过的位移与时间的平方成正比。这就告诉我们，运用数学思想与方法，通过计算可以揭示物理规律更深刻的内容。

3运用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意哪些问题

（1）在物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。这就是说，要注意不能把物理意义淹没在数学表述式中。物理与数学毕竟各有特点，二者有各自不同的研究对象和方法，一个数学函数式可以表示事物间的多种相互关系，而一个物理公式总是具有特定内容的，一定要在明确物理内容的基础上运用数学工具。在有关图像的教学中，应该把“形”与它所反映的物理内容联系起来，用图形来直观地表示其物理内容，还应该引导学生弄清楚用数学来解决物理问题时，必须受到物理概念和规律的制约，有时从数学知识上来看是合理的，而从它的物理意义上来看是不合理，也就是说，受限于物理现象的本质，数学知识的应用有其局限性和特殊性。

（2）表达物理概念或规律的公式都是在一定条件下成立的，在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。

（3）运用数学知识来推导物理公式或从基本公式导出其它关系式时，应该注意: 有些物理定律虽然可以从别的物理定律推导出来，但要引导学生弄清所讨论的物理定律是怎样建立的以及它跟相关联的物理定律有什么关系。

（4）要把概念、规律的数学公式，与用文字、语言叙述结合起来，真正理解式子的物理含意，不要单从纯数学关系上理解公式，避免产生物理意义上的错误。例如，物质密度的定义式是 D=m/v，我们能不能根据这个式子的数学关系，说物质的密度 ρ与质量 m 成正比，与体积 V 成反比呢?不能，因为密度 ρ 是描述每种物质固有特性的物理量。例如，铝的密度是 2.7 ×103 千克/ 米3，不管把铝做成小铆钉，还是大铝块，ρ 都是这个数值，怎能说它与质量成正比，与体积成反比呢?所以公式 ρ=m/v 只是提供了一种测量和计算密度的方法，即，当测出物体的质量和体积，就可利用这一公式计算出构成这一物体的物质的密度。

（5）在进行物理计算、推理时，要把物理计算和简洁的文字说理结合起来，才能使解决问题的过程物理思路清晰，方法简明严格。计算得到的结果，也要明确它的物理意义。

（6）要养成用作图来表示物理过程和规律的习惯，如画物体受力图，简单机械的力图，晶体的熔解曲线，物体的运动情况图，光路图等。自觉学会按题画图，看图识义，提高正确用图的能力，克服做练习不画图，不用图的坏习惯。

总之，运用数学思想与方法表述物理概念、描述物理规律、解决物理问题的过程，就是物理问题与数学问题相互达到统一的过程。数学思想与方法必须体现数学与物理内容的统一，这是我们解决物理问题的重要原则。

参考文献：

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[2]周春荔.数学观与方法论[M].北京:首都师范大学出版社，1996.

[3]高隆昌.数学及其认识[M].北京:高等教育出版社，2001.