刍议三角函数的最值之常见求法

刘金华

一、考纲要求

能利用有界性法、换元法等方法求某些简单的三角函数在给定区间上的最值，并会把某些简单的实际问题化归成三角函数的最值问题来解决。

二、知识要点

1. 求三角函数的最值，根据变换的方向不同，通常有如下方法

（1）三角方法。先通过三角恒等变换，转换为y=Asin(ωx+ψ)+B。（2）代数方法。先通过变量代换转化为代数函数。（3）解析法（也可以说数形结合法）。（4）导数法。

2. 求三角函数的最值，根据函数式特点不同，通常有如下类型

（1）y=asinx+bcosx+c型；（2）y=Asin2x+Bsinx+C（或y=Acosx2x+Bcosx+C）型；（3）y=asinxcosx+b（sinx

±cosx）+c型；（4）y=（或y=）型；（5）y=型；（6）y=型。

三、考题解析

例1 设a∈R，f（x）=（asinx-cosx）+cos2（-x）满足f(-)=f（0），求函数f（x）在［，］上的最大值与最小值。

简解：∵由f(-)=f（0）得a=2，因此

f（x）=2sin（2x-）。∴由单调性可得，f（x）的最大值为f（）=2, f（x）的最小值为［］=。

例2当0＜x＜时，函数f（x）=的最小值为（ ）。

A．2B．2C．4 D．4

方法1：∵f（x）=4tanx+≥2=4（易知tanx＞0），故选C。

方法2：∵f（x）=， 令y=，

∴sin（2x+φ）=5，∴≥5得y≥4或y≤-4（舍去）。

例3函数y=sin2x+sinx-1的值域为（）。

A．［-1，1］B．［-，-1］ C．［-，1］D．［-1，］

简解：∵y=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-， ∴-≤y≤1，故选C。

例题4在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。

（1）将十字形的面积表示为θ的函数；（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

简解：（1）设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sinθcosθ-

cos2θ（＜θ＜）。

（2）方法1：由（1）化简得S=sin（2θ-φ）-，其中φ=arccos。当sin（2θ-φ）=1即2θ-φ=时，S最大。所以，当θ=+arccos时，S最大。S的最大值为 。

方法2： 导数法（略）。

（新余市第四中学）