利用构造法解初中代数题的意义

刘翠华

初中代数是初中数学的重要组成部分，本文主要从解代数题这一角度出发，研究如何应用构造法解代数题，以及利用构造法解初中代数题的意义。

一、初中代数的内容联系及地位作用

初中代数是初中数学的重要组成部分。它包括数、式、方程和不等式、函数的初步知识及统计初步知识这五部分基本内容。笛卡尔模式告诉我们，一切问题可以转化为数学问题，一切数学问题可以转化为代数问题。这个模式虽不是万能的，但它在解决数学问题时确有重要作用。研究初中代数，是进一步学习其他数学知识的前提与基础。在初中代数中，方程处于承前启后的地位，它前承数、式的学习，后启不等式、函数的学习，它们相辅相承、相互作用，构成了初中代数的理论基石。

二、利用构造法解代数题的实质

利用构造法解代数题，就是根据需要与可能构造出题设条件所没有给出的数（或式）、方程、不等式、函数、图形、命题等，以沟通题设条件与待求或待证结论的一种创造性的数学方法。

三、利用构造法解代数题应注意的问题

利用构造法解代数题，需要搞懂两个问题：（1）弄清为什么目的而构造，明确构造方向；（2）全面分析题设条件及结论特点，设计构造方案。这两个问题是用构造法解决代数题的关键。

四、利用构造法解初中代数题的几种常见情形

1. 构造辅助函数

所谓构造辅助函数，就是依据给定问题的条件与结论，构造出一个函数解析式，利用函数的某些性质和图象来帮助解决问题。

例：若x，y，z∈（0，1），则有x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

证明：构建一次函数f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）从而，于是对0＜x＜1，都有f（x）＜1，从而有（1-y-z）x+y（1-z）+z＜1即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

2. 构造辅助数与式

根据问题的特征，构造出一个联系条件和结论的数或式子，架起一座解题的桥梁。

例：试证在0与1之间有无穷个有理数。分析：此题从正面思考较困难，可使用反证法并通过构造新数导出矛盾。

证明：假设在0与1之间仅有n个有理数a1，a2，…an，由于任两个有理数之积仍是有理数，于是构造一个与a1，a2，…an都不相同的有理数p=a1•a2……an。∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，…，0＜an＜1，∴0＜p＜1则说明在0与1之间至少有n+1个有理数，这与假设矛盾，故在0与1之间有无穷个有理数。

3. 构造辅助方程（或方程组）

有些数学计算或证明问题，与方程的求解密切相关，我们可通过分析构造出相应的方程（或方程组），然后由方程的求解或解的性质使问题得到解决。

例：已知方程组3x+7y+z=34x+10y+z=4，求x+y+z的值。

分析：两个方程含三个未知数，不易解出各未知数，但观察待求结论与已知方程组的特征，可将x+y+z看成一个“未知数”，将原方程组变形为含两个“未知数”的二元一次方程组，问题便迎刃而解。

解：原方程组可化为（x+y+z）x+2（x+3y）=3 ，（1）（x+y+z）x+3（x+3y）=4 ，（2）

（1）×3－（2）×2得=1。

4. 构造辅助不等式（或不等式组）

有些数学问题，蕴涵着量与量之间的不等关系，可通过建立不等式（或不等式组），使问题得到解决。

例：某厂生产一种机器零件，固定成本为20 000元，每个零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额的10%，若要使利润超过固定成本，则该零件至少要生产销售多少个？

解：设零件至少销售x个，总售价为5x元，成本为3x元，纳税5x×10%，则可构建不等式5x-（3x+5x×10%）＞20 000。

解得x＞13 333。又因x为整数，所以该零件至少要生产销售13 334个。

5. 构造辅助图形

当代著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数形结合，相得益彰。根据代数题目特点，构造所涉及元素的图形，则可化抽象为形象，借助直观启发思维，从而快速找到解题思路，收到事半功倍的效果。下面分两方面来阐述。

（1）图示法：借助图表来说明问题的方法叫做图示法。

用韦恩图表示集合之间的关系。由于初中数学中已渗透了集合思想，所以可借助韦恩图直观地显示出各集合之间的关系。一般用圆面来表示集合，两个圆面相交，则表示两个集合含有公共元素，两个圆面相离，则表示两个集合不含公共元素。

例：某学校共有三个科技兴趣小组：天文、环保和计算机。已知参加三个兴趣小组的学生分别是24、25、30人；同时参加天文、环保兴趣小组的有5人，同时参加天文、计算机兴趣小组的有2人，同时参加环保、计算机兴趣小组的有4人，有1人同时参加这三个兴趣小组，问共有多少个学生参加了科技兴趣小组？

解：根据题意构造图（见下图），可知参加科技兴趣小组总人数为：

18+17+25+4+1+3+1=69（人）

（2）几何图形法。

有些问题表面上看属于代数问题，但运用代数方法又难以求解，这时不妨换个角度去思考，根据题设条件，构造出与之相对应的几何图形，问题使可解决。

6. 构造辅助命题

当某些命题不易直接入手论证时，可去构造其辅助命题，使综合问题逐步分解转化，达到解决的目的。

例：若a3+b3+c3-3abc=0，且a+b+c≠0，则a=b=c。

证明：构造辅助命题：若a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，则a=b=c。

∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a-b=b-c=c-a=0，即a=b=c。

又a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），

且a+b+c≠0，∴a=b=c。

综上所述，数学是在学习期间培养学生的创新意识的最有效途径之一。构造法正是创造性思维在数学中的一种具体体现。它不仅培养了学生思维的独创性、多向性、灵活性与批判性，同时把多种数学思想方法融为一体，如观察、猜想、化归、数形结合等，打破了思维定式，使学生的智能得到开发与拓展，培养了学生的创新意识及探索知识的能力，使他们不仅学会学习，而且学会思考、学会创造，最终学会生存。

（宾县居仁中学）