判断函数一致连续性的几种方法

李启龙

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念，目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理， 通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法，以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用，使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化。

关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法

弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键。数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理，为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握，作为对教材内容的适当扩充和补充，我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法。

一、预备知识

定义 设函数f（x）定义在区间I上，若对于任意的ε>0，存在δ>0，对任意的x1，x2∈I。只要x1-x2<δ，就有f（x1）-f（x2）<ε，则称f（x）在I上一致连续。

引理1若函数f（x）在［a，b］及［b，c］都一致连续，则f（x）在［a，c］上一致连续。

注：改［b，c］为［b，+∞］时，结论也成立。

引理2设函数f（x）在区间I上满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对I上任意x'，x''两点，都有f（x'）-f（x''）≤Lx'-x''，则f（x）在区间I上一致连续。

二、主要结论

1. 导数判断法

从一致连续函数的定义及非一致连续函数的图像分析易知，函数的一致连续性与函数“陡度”有关，函数在某点附近的“陡度”大，曲线在该点附近的切线斜率的绝对值就大，反之亦然，若函数可导，则“陡度”大小与导数值的“大小”有关，故有如下导数判断法。

定理1设函数f（x）在区间I上可导，且f'（x）在区间I上有界，则函数f（x）在区间I上一致连续。

证明：由已知，f'（x）在区间I上有界，于是存在常数M使得对x∈I，有f'（x）≤M（M>0）。由微分中值定理，对任意的x1，x2∈I，有f（x1）-f（x2）=f'（x）x1-x2≤Mx1-x2。即f（x）在区间I上满足Lipschitz条件，于是由引理2知f（x）在区间I上一致连续。

注：f'（x）在I上有界是f（x）在I上一致连续的充分而非必要条件。例如函数f（x）=xx在（0，1）上一致连续。事实上，f（x）=xx在（0，1）内连续，且f（x）=1，f（x）=1，但是f'（x）=（exlnx）'=exlnx［lnx+1］→-∞（x→0+）。

定理2 若函数f（x）在区间［a，+∞）（或（-∞，b］）上可导，且=+∞（或f'（x）=-∞，则f（x）在［a，+∞）（或（-∞，b］ ）上非一致连续。

证明：对于δ>0，取x1=n，x=n+（n为充分大的自然数)，满足x1-x2=<δ，且当n→δ时，x1，x2→+∞。根据微分中值定理，存在ξ介于x1与x2之间，使得f（x1）-f（x2）=f'（ξ）•x-x=f'（ξ）→∞+（n→∞）。即f（x）在区间［a，+∞）上不一致连续。同理可证另一情况。

2. 极限判断法

定理3 若函数f（x）在区间（-∞，+∞）内连续，且f（x）和f（x）都存在，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

证明：ε>0，?埚δ1>0，由f（x）=A，当x>b时，有f（x）-A<。从而有x1，x2>b且x1-x2<δ1时，有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-A+f（x2）-A<ε。由此可知f（x）在［b，+∞）上一致连续。同理可证当x1-x2<δ2时，有f（x1）-f（x2）<ε。

根据引理1即知f（x）在（-∞，a］上一致连续。

又f（x）在［a，b］上连续，因此?埚δ3>0，当x1-x2<δ3 时，有f（x1）-f（x2）<ε，故f（x）在［a，b］上一致连续。

取δ=min｛δ1，δ2，δ3｝，当x1-x2<δ时，便有f（x1）-f（x2）<ε。

由定义1和引理1知f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

根据定理3容易得出以下推论：

推论1 ：函数f（x）在［a，+∞）内一致连续的充分条件是f（x）在［a，+∞）内连续且f（x）与（x）都存在。

推论2 ：函数f（x）在［a，+∞）内一致连续的充分条件是f（x）在［a，+∞）内连续且f（x）都存在。

推论3： 函数f（x）在（-∞，b）内一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b）内连续且f（x）与f（x）都存在。

推论4： 函数f（x）在（-∞，b］内一致连续的充分条件是f（x）在（-∞，b］内连续且f（x）存在。

定理4 函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，g（x）在（-∞，+∞）上一致连续，且f（x）-g（x）=0，f（x）-g（x）=0，则f（x）在（-∞，+∞）上一致连续。

证明：只需证函数f（x）在［a，+∞）上一致连续，对ε>0，因为f（x）-g（x）=0，则?埚X1>0，当x>X1时，有f（x）-g（x）<。（1）

令X0=X1+1，在［a，X0］上，因为f（x）连续，故必一致连续，所以?埚0<δ1<1，当 x1，x2∈［a，X0］且x1-x2<δ时，有f（x1）-f（x2）<ε。（2）

因为g（x）在［X1，+∞）上一致连续，则?埚δ2>0，x1，x2∈［X1，+∞），当x1-x2<δ2时，有g（x1）-g（x2）<。（3）

令δ＝min（δ1，δ2），对x1，x2∈［a，+∞），当x1-x2<δ，若x1，x2∈［a，X0］时，有f（x1）-f（x2）<ε。

若x1X1，则由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，若x1，x2∈［X0，+∞），由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，因此ε＞0，?埚δ＞0，当x1，x2∈［a，+∞］，且x1-x2<δ时，就有f（x1）-f（x2）<ε。

故f（x）在［a，+∞）上一致连续，同理可证f（x）在（-∞，a］上一致连续，所以f（x）在（-∞，+∞）一致连续.

参考文献：

[1]鞠正云.用导数判别函数的一致连续性[J].工科数学，1999(15).

[2]林远华.对函数一致连续性的几点讨论[J].河池师专学报,2003(4).

（通渭县鸡川中学）