求数列通项公式的常用方法

张国庆

摘要：数列是高中数学的核心内容之一，而求数列的通项公式又是数列知识的关键，其常用方法有：观察法、定义法、叠加法、叠乘法、归纳猜想法、待定系数法、倒数法、公式法、等方法。

关键词：数列；观察法；定义法；叠加法；叠乘法；归纳猜想法；待定系数法；倒数法；公式法等

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）09-0135-02

数列是高中数学教材中的重要内容，它与高中数学的其他知识有着紧密的联系，具有较强的综合性和实用性。而求数列的通项公式又是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，函数有了解析式便可研究其性质等，而数列有了通项公式便可求出任意一项以及前N项和等，因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点；同时，由数列的递推公式求数列的通项公式又能很好地锻炼学生的分析、判断能力，加强学生对知识因果关系的思考，培养学生的观察、思维能力，体现数学的魅力，提高学习数学的兴趣。为此我在这里谈谈求数列通项公式的几种常见的方法，不到之处，敬请广大同仁批评指正。

一、观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）1，1/2，1/4，1/8，…

解：（1）变形为：101-1，102-1，103-1，104-1，……

∴通项公式为：10n-1

（2）变形为：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，……，

∴通项公式为：1/2n-1

观察法就是要抓住各项的特点，与常见的数列形式相联系进行变形，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项数n的关系，写出通项公式。

二、定义法

例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f（x）=（x-1）2，且a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1），求数列{an}和{bn}的通项公式；

解：（1）∵a1=f（d-1）=（d-2）2，a3=f（d+1）=d2，

∴a3-a1=d2-（d-2）2=2d，∴d=2，

∴an=a1+（n-1）d=2（n-1）；

又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q-1）=（q-2）2，

由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b·qn-1=4·（-2）n-1

当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。

三、叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解：已知a2-a1=3，a3-a2=5，…，an-an-1=2n-1，…各式相加得：an-a1=3+5+…+（2n-1）=n2-1

∴an=n2+5n

对于可表述成为an-an-1=f（n）的形式的数列，即可通过叠加的方法消去a2至an-1项，从而利用的已知求出。

四、叠乘法

例4：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0 又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴（n+1）an+1-nan=0，由此得出：a1=2a2，2a2=3a3，…，（n-1）a（n-1）=nan，这n-1个式子，将其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=■，∵n=1也成立，∴an=■（n∈N*）。

对于相邻的两项有确定的比例关系的递推式，可以通过叠乘法消去和，从而利用的已知求出此类数列的通项公式。

五、归纳、猜想法

如果给出了数列的前几项和能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例5：已知数列{an}满足a1=1，Sn=■an，求通项an.

解析：由a1=1，当n=2时，a1+a2=■a2，a2=2a1=2，当n=3时，a1+a2+a3=2a3

a3=3，同理可得a4=4，…猜想得an=n，下面用数学归纳法证明。

（1）当n=1，2，3时，已验算成立，（2）假设n=k时，猜想成立，即ak=k，当n=k+1时，Sk+1=■ak+1，又Sk+1=■ak=■，二式相减，得ak+1=■ak+1-■∴ak+1=k+1，即n=k+1时猜想也成立，由（1）（2）知对于一切自然数n都有an=n.

这类题的关键是通过首项和递推关系式求出数列的前n项，再猜出数列的通项公式，进而用数学归纳法求出数列的通项公式。

总之，数列是初等数学向高等数学过度的桥梁，而求数列的通项公式又是学好数列知识的关键，它具有很强的技巧性。但是由于同学们在刚刚接触数列知识时，对求数列的通项公式没有系统的方法，常常感觉无从下手，需要教师和学生共同努力，共同思考，不断的完善求数列通项公式的方法和技巧，开拓思维，创新学习，逐步树立学好数学的信心，提高自身的数学素养，并能融会贯通的运用到其他的知识学习中去。