浅析数学开放题的解题策略

吴治国

开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。那么在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。

一、开放问题的构建

有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：

[例1]已知a，b，c∈R+，并且，a

除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点（b，a）、（—m，—m）的连线的斜率大于两点（b，a）、（0，0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。

[例2]用实际例子说明

所表示的意义

给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。

（1）X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以—2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。

（2）季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。

函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。

三、开放问题的探索

开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。以下以《解析几何》教材上的一道例题为例来看开放问题的探索。

[例3]由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。

问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。

对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。

如改变位置，将A写成“（x—a）2+（y—b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x—a）2+（2y—b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y—b）2=4与椭圆x2+（2y—b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。

简解：解方程组

得 y=0 或y=2b/3

当y=0时，x2+b2=4，

（1）若b<—2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；

（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若 —2

当y=2b/3时，x2+b2/9=4，

（1）若b<—6或b>6，圆与椭圆没有公共点；

（2）若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若—6

综上所述，圆x2+（y—b）2=4与椭圆x2+（2y—b）2=4，当b<—6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当—6

上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。

再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y—b）2=4上的点到椭圆x2+（2y—b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。

对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。