分形油藏径向渗流问题解的相似结构

郭丽洁，李顺初，盛翠翠

（西华大学应用数学研究所，四川 成都 610039）

分形油藏径向渗流问题解的相似结构

郭丽洁，李顺初，盛翠翠

（西华大学应用数学研究所，四川 成都 610039）

针对均质分形油藏，考察了井筒储集并引入有效井径，在井底定产量生产的条件下，建立了均质分形油藏考虑二次梯度影响的不稳定渗流数学模型。先对此模型作线性化处理，再作Laplace变换，得到了线性化后模型的Laplace空间精确解；并找出3种外边界（无穷大、定压、封闭）条件下解的相似结构，与数和图形的相似性统一起来，使得不同边界条件下解的表达式之间的关系更加清晰，找出了解式与渗流模型各参数之间的密切联系，为编制相应的试井分析应用软件提供了一个更便利的途径。

相似结构；均质分形油藏；二次梯度项；不稳定；径向流

随着科学技术和生产的发展，很多领域出现了因存在二次梯度项而导致的非线性渗流问题。在油藏工程方面，二次梯度项的影响也逐渐得到重视。曹绪龙［1］建立了非线性径向流动问题的无限大地层和有界地层渗流模型，分析了非线性压力解与线性压力解的差异，指出了在试井时间长时要考虑二次梯度项的影响。近年来，李顺初、徐昌学等［2-7］针对一些未考虑二次梯度项的各类油藏模型，归纳出了可以表示储层压力与井底压力的通用公式，即相似结构，并在这些文章中对相似结构的应用作了深入的讨论［6-9］，说明了相似结构非常便于试井分析应用软件的编制。

文中研究的油藏模型考虑了二次梯度项，并在引入有效井径和考虑井筒储集的情况下，建立均质分形油藏模型，找出了定解问题在3种外边界条件下解式的相似结构，进一步分析了相似结构和核函数与渗流定解问题中各参数间关系，使得只能在实空间内进行的试井分析推广到能够在Laplace空间内顺利进行。

1 非线性渗流模型的建立

考虑井筒储集并引入有效井径的平面径向分形渗流网络，假设：

1）分形维数为df的分形渗流网络嵌入到二维欧几里得岩块中；

2）产层厚度均质且全部打开，流体径向流入井内；

3）开井前，油藏中各处压力为原始地层压力po，开井后以定产量q生产；

4）流体微可压缩且服从等温达西定律；

5）忽略重力和毛细管压力的影响。

根据以上假设，可建立如下渗流数学模型。

2 模型求解

对微分方程（1）作如下变量替换，令：

为了保持初始条件和边界条件的齐次性，可令c1=1，c2=0，即

这样，渗流定解问题方程（1）—（5）可化为如下线性形式：

对渗流问题（6）关于tD作Laplace变换得

通过对3种不同的外边界条件下的渗流模型的分析，知道渗流模型线性化后的Laplace空间解在不同的边界条件下可得出相同的表达形式为

3种边界条件中分别对应的相似核函数：

由式（11）可知，线性化后的无因次井底压力的Laplace空间解为

4 结论

1）对所求得的线性化后模型的Laplace空间解，可通过解析反演求得相应的实空间的解析解，从而求得储层压力和井底压力分布的解析解。

3）文中的相似结构，从方程本身来看，可以很清晰的描述解式与渗流定解问题各参数之间的关系。显然，这个统一的表达式只与內边界条件和方程（7）的通解有关；而相似核函数也只能由方程（7）的通解和外边界条件来决定。

5 符号注释

p为储层中任一点处的压力，MPa；pw为井壁（底）处的压力，MPa；po为原始地层压力，MPa；t为时间，h；r为储层中任一点距井口的距离，m；rw为井筒半径，m；Re为外边界（圆形外边界）半径，m；h为流体的储层厚度，m；Q为井底产量，cm3/h；μ为流体黏度，mPa·s；m为流体质量，kg；S为表皮因子（井底污染系数）；C为井筒储存系数，m3／MPa；B为流体体积系数；df为分形维数；ds为谱维数；θ为反常扩散指数；Cf为流体压缩率；Vs为座点孔隙体积，m3；z为Laplace变量。下标：D为无因次；w为井底。

［1］曹绪龙，同登科，王瑞和.考虑二次梯度项影响的非线性不稳定渗流问题的精确解［J］.应用数学和力学，2004，25（1）：93-99. Cao Xulong，Tong Dengke，Wang Ruihe.Exact solutions for nonlinear transient flow model including a quadratic gradientterm［J］. Applied Mathematics and Mechanics，2004，25（1）：93-99.

［2］李顺初，伊良忠，郑鹏社.微分方程定解问题解的相似结构［J］.四川大学学报：自然科学版，2006，43（4）：933-934. Li Shunchu，Yi Liangzhong，Zheng Pengshe.The similar structure of differential equation on fixed solution problem［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science Edition，2006，43（4）：933-934.

［3］李顺初.复合油藏压力分布研究［J］.断块油气田，2001，8（6）：29-31. Li Shunchu.Research of composition reservoir pressure distribution［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2001，8（6）：29-31.

［4］李顺初，郑鹏社，张宇飞.复合油藏试井分析解的相似结构［J］.数学的实践与认识，2008，38（3）：23-28. Li Shunchu，Zheng Pengshe，Zhang Yufei.The similar structure of pressure distribution in the composite reservoir［J］.Mathematics in Practice and Theory，2008，38（3）：23-28.

［5］李全勇，李顺初，李伟，等.基于解相似结构的复合油藏渗流模型研究［J］.断块油气田，2011，18（5）：623-625，633. LiQuanyong，LiShunchu，LiWei，etal.Study on percolation model of composite media reservoir based on similar structure of solution［J］.Fault-Block Oil& Gas Field，2011，18（5）：623-625，633.

［6］徐轩，杨正明，祖立凯，等.多重介质储层渗流的等效连续介质模型及数值模拟［J］.断块油气田，2010，17（6）：733-737. Xu Xuan，Yang Zhengming，Zu Likai，et al.Equivalent continuous medium model and numerical simulation of multimedia reservoir［J］. Fault-Block Oil&Gas Field，2010，17（6）：733-737.

［7］同登科，陈钦雷，廖新维.非线性渗流力学［M］.北京：石油工业出版社，2003：4-5. Tong Dengke，Chen Qinlei，Liao Xinwei.Nonlinear flow mechanics［M］.BeiJing：Petroleum Industry Press，2003：4-5.

（编辑 刘丽）

Similar structure of solutions for radial flow of fractal reservoir

Guo Lijie,Li Shunchu,Sheng Cuicui
(Institute of Applied Mathematics,Xihua University,Chengdu 610039,China)

To the homogeneous fractal reservoir,the wellbore storage is examined and the effective well radius is introduced.An instability flow mathematical model is established in the case of the fixed production at well bottom.The model considers the impact of the quadratic gradient in homogeneous fractal reservoir.The model is processed linearly,further for Laplace transform,obtaining the exact solutions of linearized model in Laplace space.The similar structure of the solutions in the three kinds of outer boundary conditions(infinite boundary,constant pressure outer boundary and closed boundary)is found out,making the relationship between the expressions of the solution clearer.The close relationships between the solutions and model parameters are also found out,which can provide a more convenient way for programming the application software for well test analysis.

similar structure;homogeneous fractal reservoir;quadratic gradient term;instability;radial flow

西华大学重点学科“应用数学”（XZD0910-09-1）

TE312

：A

1005-8907（2012）01-0114-03

2011-04-06；改回日期：2011-12-07。

郭丽洁，女，1984年生，在读硕士研究生，主要从事微分方程及其应用和渗流力学方面的研究。E-mail：guolijie138646 @163.com。

郭丽洁，李顺初，盛翠翠.分形油藏径向渗流问题解的相似结构［J］.断块油气田，2012，19（1）：114-116. Guo Lijie，Li Shunchu，Sheng Cuicui.Similar structure of solutions for radial flow of fractal reservoir［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2012，19（1）：114-116.