关于卷积的运算规则及存在性

2012-04-26王晓翔梁忞飞

电气电子教学学报 2012年2期

王晓翔，黄静，梁忞飞

(合肥电子工程学院，安徽合肥 230037)

在“信号与系统”课程中，图解法是进行卷积运算的常用方法，然而在很多场合下直接用公式计算会更加便利，最关键的是积分上、下限的确定。我们发现，学生通常对时限信号和因果信号卷积较为熟悉，而对于其它情况下的卷积则不尽然，或者说没有概括性的了解。此外，关于卷积的存在问题书上也很少论及。本文对卷积在各种情况下的运算规则进行了归纳，并探讨了卷积的存在性以及它对卷积性质的影响，以期对学生更好地学习“信号与系统”课程提供帮助。

1 卷积的运算规则及存在性

1.1 常义函数卷积一定存在的情况

函数卷积的定义式为

两常义函数f1(t)与f2(t)满足以下两种情形之一时，卷积一定存在［1］:①两信号都是有始信号或有终信号或时限信号;②两信号中至少有一个是时限信号。

对于两时限信号卷积，教科书上均有详述，这里不再赘述。下面就其它几种情形的卷积运算规则进行归纳。

1)两有始信号卷积

1.2 常义函数卷积不一定存在的情况

值得说明的是，前述文中提到的两常义函数卷积存在的条件(1)或(2)是充分条件而非必要条件。也就是说，当不满足这两个条件之一时，卷积可能存在也可能不存在。

两常义函数f1(t)与f2(t)满足以下情形之一时卷积不一定存在:①有始信号与有终信号;②有始信号与无时限信号;③有终信号与无时限信号;④两无时限信号。现就几种在假设卷积存在的运算规则进行归纳。

1)有始信号与有终信号卷积

上式成立的前提是每项的卷积都存在，此时各卷积计算可按前述方法进行。

2 卷积存在性对卷积性质的影响

2.1 卷积的分配律

卷积的分配律为

2.2 卷积的结合律

卷积的结合律为

该式成立的条件是f1(t)、f2(t)和f3(t)中的任意两者之间的卷积均存在［2］，否则结合律不成立。如f1(t)=1，f2(t)=δ'(t)，f3(t)=u(t)，则有

可见此时卷积的结合律不成立，究其原因是由于卷积f1(t)*f3(t)=1*u(t)不存在的缘故。

2.3 卷积的导数

卷积的导数是指

该式成立的条件是f1(t)*f2(t)存在。否则上式不成立。如卷积1*u(t)是不存在的，虽然卷积(1)'*u(t)=0和卷积1*u'(t)=1*δ(t)=1都存在，但是式(21)是不成立的。即:

2.4 卷积的积分

卷积的积分是指

该式成立的条件是f1(t)*f2(t)存在，而且有:［f1(t)*f2(t)］*u(t)满足结合律［3］，否则上式不成立。如f1(t)=1，f2(t)= δ'(t)，则有:［1* δ'(t)］(－1)=0，［1］(－1)* δ'(t)不存在，但是 1* ［δ'(t)］(－1)=1*δ(t)=1，可见此时卷积的积分式不成立，即有