变截面连续箱梁约束扭转的矩阵分析方法

张路

摘要：当箱梁的截面采用变截面，这种桥梁在受到不对称荷载的作用时，箱梁将发生约束扭转，使纵向纤维受到拉伸或压缩，从而产生约束扭转正应力与约束扭转剪应力。本文首先通过理论分析建立约束扭转的微分方程，再根据有限元理论，运用初参数法求解微分方程，最终导出当箱梁受到约束扭转时的刚度矩阵。

关键词：变截面箱梁 约束扭转 初参数法 刚度矩阵

中图分类号：K928.78 文献标识码：A 文章编号：

0引言

预应力混凝土连续箱梁具有结构刚度大、变形小、及行车舒适等优点，在国内外得以广泛推广。由于公路桥梁中桥面较宽，车辆在行驶的过程中经常不能行驶在桥梁的轴线上，这样公路桥梁经常处于偏心荷载的作用下。当箱梁的截面采用变截面时，箱梁常处于约束扭转状态。

本文首先通过理论分析建立约束扭转的微分方程，然后根据有限元理论，运用初参数法求解微分方程，最终导出当箱梁受到约束扭转时的刚度矩阵。这对编写箱梁约束扭转分析计算程序有很好的帮助。

1基本方程的建立

1.1自由扭转分析

在研究自由扭转之前，首先引入薄壁杆件扭转理论中的一个最基本的假定——符拉索夫的刚周边假定，即在小变形情况下，可以认为杆件扭转后断面在其原来平面上的投影形状与原断面形状相同。根据刚周边假定，开口薄壁杆件扭转时断面如刚体般转动，各个组成部分的扭角都相同。以图1的工字断面为例，可把它看成由三个狭长断面所组成，并设H1、t1、H2、t2、H3、t3分别代表三个狭长断面的长度和壁厚。每一断面的扭率都应该相同，即

ϕ1′=ϕ2′ϕ3′=ϕ′（1）

上式中：ϕ′为整个断面的扭率；J1=、J2=、J3=分别为三个狭长断面的扭转惯性矩，假设J为整个工字断面的扭转惯性矩,显然应有：

J=J1+J2+J3 (2)

由此可见，对于开口薄壁杆件的自由扭转惯性等于组成断面的各狭长矩形断面的扭转惯性矩之和。

对于闭口薄壁杆件在自由扭转时，以u表示翘曲位移，v表示切向位移。则

=+（3）

其中：v=ϕρ，表示剪应变(剪应力与剪切模量之比)。

所以上式可写成：

=- ϕ′ρ（4）

其中Ω为闭口断面所围成面积的两倍。

对上式两边对S积分，根据位移连续性条件可得：

=G (5)

把上式中定义为闭口断面自由扭转时的自由扭转惯性矩，用Jd表示。以上部分推导了闭口断面在自由扭转时的惯性矩的计算公式。

1.2约束扭转分析

薄壁杆件在扭转时，若由于支座约束或其他原因（如非等断面杆件），使得断面不能自由翘曲，那么杆件就发生约束扭转。箱梁在约束扭转时断面的扭矩为自由扭转扭矩和二次扭矩之和。写出约束扭转时的总扭矩[2]：

（6）

再在杆中取出长为dz的一微段（见图二），根据扭矩平衡的条件可得断面扭矩与外分布扭矩之间的关系为：

（7）

由以上两式可得：

（8）

其中k=

式中为箱梁截面扇性惯性矩；

为约束扭转时的约束系数；

k 为箱梁截面的抗扭常数；

为箱梁截面的扇性惯性矩；

mt为作用在箱梁上的扭矩。

2运用初参数法求解微分方程并推导单元刚度矩阵

考虑约束扭转的箱梁扭转单元刚度方程为：

=(9)

根据闭口薄壁杆件约束扭转的微分方程（8）式，先假定mt=0求(8)式相应的齐次微分方程，运用初参数法，初参数取、、、，微分方程初参数的解为：

根据有限元中对刚度系数的定义，先假定，而。这样就可以确定出初参数、。变换符号，可以求出、、及。以此类推可求出其它元素。按上述过程所求得的各刚度系数为：

式中D=

至此刚度矩阵中的系数已全部求出。

3结论

本文用薄壁箱梁的约束扭转理论，导出了梁单元在受约束扭转时的刚度系数矩阵。由于本文的方法是基于杆系结构刚度法基础之上的，容易编写程序，在工程计算中，有一定的实用价值。

参考文献

[1] 郭金琼，房贞政，郑振．箱形梁设计理论[M]．人民交通出版社，2008

[2] 陈伯真，胡毓仁．薄壁结构力学[M]．上海交通大学出版社，1998

[3] 张元海．薄壁箱梁的翘曲连续性条件[J]．力学与实践，2009，31(5):26～29

[4] 谢旭，黄剑源．薄壁箱形梁桥约束扭转下翘曲、畸变和剪滞效应的空间分析[J]．土木工程学报，1995 28(4):3～14