Abel环的性质和刻划

宛凌宇

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

Abel环的性质和刻划

宛凌宇

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

对带有自同态的Abel环展开研究，得到丰富的性质和刻划，并推广了许多已知结论.

Abel环；幂等元；自同态

Abel环是幂等元中心的环，这一类环具有十分广泛的性质，与多种环联系密切.文献 [1-2]分别指出Semicommutative环和Armendriz环是Abel环.而文献[3]证明了Reversible环是Semicommutative环，从而是Abel环.文献[4]总结了Abel环的多种刻划，并对其做出推广.本文引入环R的子集A（R）＝｛a｜ea＝a（1－e），∃e∈E（R）｝，Ar（R）＝｛a｜ea＝a（1－σ（e）），∃e∈E（R）｝，Al（R）＝｛a｜σ（e）a＝a（1－e），∃e∈E（R）｝，其中σ是R的自同态，这些子集从新的角度反映了Abel环的性质，可以用来判定一个环成为Abel环的条件.笔者从这个角度出发，来研究带有自同态的环R的Abel性，给出Abel环的多种性质和刻划.为叙述方便，本文中的环R均指含幺环，σ表示R的自同态而不作特别说明.E（R），N（R）和C（R）分别代表环R的幂等元、幂零元全体以及R的中心.设a∈R，l（a）（r（a））表示a的左（右）零化子.

1 主要结果

定义1 称环R为Abel环，如果E（R）⊆C（R）.

定义2 记 A（R）＝｛a｜ea＝a（1－e），∃e∈E（R）｝，设σ是R 的一个自同态，记 Ar（R）＝｛a｜ea＝a（1－σ（e）），∃e∈E（R）｝，Al（R）＝｛a｜σ（e）a＝a（1－e），∃e∈E（R）｝.

这3个子集具有多种性质，并与环R的Abel性密切相关，笔者有如下结果：

定理1 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）Ar（R）＝0；

3）Al（R）＝0；

4）eR（1－σ（e））＝0，∀e∈E（R）；

5）σ（e）R（1－e）＝0，∀e∈E（R）.

证明 1）⇒2）.∀a∈Ar（R），∃e∈E（R）使得ea＝a（1－σ（e））＝a（1－e），从而ea＝ea（1－e）＝e（1－e）a＝0.同理，（1－e）a＝（1－e）ae＝（1－e）ea＝0.故a＝ea＋（1－e）a＝0.类似地可以证明1）⇒3）.

2）⇒4）.显然eR（1－σ（e））⊆Ar（R）＝0.同理有3）⇒5）.

4）⇒1）.由于eR（1－σ（e））＝0，∀e∈E（R），从而e（1－σ（e））＝0，e＝eσ（e）.又（1－e）Rσ（e）＝0，从而（1－e）σ（e）＝0，即σ（e）＝eσ（e）＝e.因而eR（1－e）＝0，∀e∈E（R），从而R是Abel环.同理有5）⇒1）.

条件σ（e）＝e不能去掉.令R＝Z5⊕Z5，其中Z4＝Z／4Z.R是Reduced环，从而是Abel环.令环R的自同态σ满足σ（（a，b））＝（b，a）.显然，对e＝（1，0）∈E（R），σ（e）＝e≠e，i＝1，2.而Ar（R）⊃eR（1－σ（e））℈（1，0）（2，3）（（1，1）－σ（1，0））＝（1，0）（2，3）（1，0）＝（2，0）≠0，Al（R）⊃σ（e）R（1－e）℈（0，1）（2，3）（（1，1）－σ（0，1））＝（1，0）（2，3）（1，0）＝（0，3）≠0.

显然，R是Abel环当且仅当∀e∈E（R），eR（1－e）＝0，它可以视为定理1的推论，广泛用于Abel环的判定.

推论1 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）A（R）＝0；

3）eR（1－e）＝0，∀e∈E（R）.

由推论1不难证明，R是Abel环，当且仅当∀e∈E（R），∀e∈R，re＝0蕴含er＝0，更一般地，有

定理2 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）aσ（e）＝0⇒ea＝0，∀e∈E（R），∀a∈Ar（R）；

3）σ（e）a＝0⇒ae＝0，∀e∈E（R），∀a∈Al（R）；

4）ea＝0⇒aσ（e）＝0，∀e∈E（R），∀a∈Ar（R）；

5）ae＝0⇒σ（e）a＝0，∀e∈E（R），∀a∈Al（R）.

证明 由定理1，1）⇒2），1）⇒3），1）⇒4），1）⇒5），显然.

2）⇒1）.∀e∈E（R），∀r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R）.显然aσ（e）＝0，故ea＝er（1－σ（e））＝0.由定理1，R是Abel环.

3）⇒1）.∀e∈E（R），∀r∈R，令a＝σ（e）r（1－e）∈Al（R）.显然aσ（e）＝0，故ea＝er（1－σ（e））＝0.由定理1，R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.

类似地，可以证明4）⇒1）和5）⇒1）.

推论2 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）rσ（e）＝0⇒er＝0，∀e∈E（R），∀r∈R；

3）σ（e）r＝0⇒re＝0，∀e∈E（R），∀r∈R；

4）er＝0⇒rσ（e）＝0，∀e∈E（R），∀r∈R；

5）re＝0⇒σ（e）r＝0，∀e∈E（R），∀r∈R.

推论3 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）re＝0⇒er＝0，∀e∈E（R），∀r∈R；

3）er＝0⇒re＝0，∀e∈E（R），∀r∈R；

4）ae＝0⇒ea＝0，∀e∈E（R），∀a∈A（R）；

5）ea＝0⇒ae＝0，∀e∈E（R），∀a∈A（R）.

定理3 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）eRa＝0，∀e∈E（R），∀a∈Ar（R）；

3）aRσ（e）＝0，∀e∈E（R），∀a∈Ar（R）；

4）σ（e）Ra＝0，∀e∈E（R），∀a∈Al（R）；

5）aRe＝0，∀e∈E（R），∀a∈Al（R）.

证明 由定理1，1）⇒2），1）⇒3），1）⇒4），1）⇒5），显然.

2）⇒1）∀e∈E（R），∀r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），则er（1－σ（e））＝ea∈eRa＝0.由定理1，R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.

类似可以证明3）⇒1），4）⇒1），5）⇒1）.

推论4 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）eR（1－e）Rσ（e）＝0，∀e∈E（R）；

3）eR（1－σ（e））Rσ（e）＝0，∀e∈E（R）；

4）σ（e）R（1－σ（e））Re＝0，∀e∈E（R）；

5）σ（e）R（1－e）Re＝0，∀e∈E（R）.

推论5 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）eRa＝0，∀e∈E（R），∀a∈A（R）；

3）aRe＝0，∀e∈E（R），∀a∈A（R）.

定理4 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.

2）aσ（l（a））＝0，∀a∈Ar（R）.

3）σ（r（a））a＝0，∀a∈Al（R）.

证明 由定理1，1）⇒2）和1）⇒3）显然.

2）⇒1）.∀e∈E（R），∀r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），则1－e∈l（a），从而er（1－σ（e））＝a（1－σ（e））∈aσ（l（a））＝0.由定理1知，R 是 Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.

类似地可以证明3）⇒1）.

推论6 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）al（a）＝0，∀a∈A（R）；

3）r（a）a＝0，∀a∈A（R）.

设k∈R，称RRk（kRR）是投射的，如果∃e∈E（R）使得l（k）＝l（e）（r（k）＝r（e））.令 Pl（R）＝｛k∈R｜RRk是投射的｝，Pr（R）＝｛k∈R｜kRR是投射的｝.显然E（R）⊆Pr（R），Pl（R）.

定理5 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）σ（k）l（k）＝0，∀k∈Pr（R）；

3）r（k）σ（k）＝0，∀k∈Pl（R）.

证明 1）⇒2）.∀k∈Pr（R），∃e∈E（R）使得l（k）＝l（e）℈1－e，从而（1－e）k＝0，k＝ek，因此σ（k）l（k）＝eσ（k）l（e）＝σ（k）l（e）e＝0.类似地可证1）⇒3）.

2）⇒1）.由于E（R）⊆Pr（R），且∀e∈E（R），r∈R，r（1－e）∈l（e），从而σ（e）r（1－e）＝0.由定理1，R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.类似地可证3）⇒1）.

推论7 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）kl（k）＝0，∀k∈Pr（R）；3）r（k）k＝0，∀k∈Pl（R）.

称一个环R为左（右）pp环，如果∀k∈R，RRa（kRR）是投射的.也即，R是左（右）pp环，当且仅当Pl（R）＝R（Pr（R）＝R）.由推论7，有如下推论：

推论8 R是左（右）pp环.则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）σ（a）l（a）＝0（r（a）σ（a）＝0），∀a∈R.

定理6 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）；

2）∀e，g∈E（R），eg＝gσ（e）；

3）∀e，g∈E（R），σ（e）g＝ge；

4）∀e∈E（R），a∈Ar（R），ea＝aσ（e）；

5）∀e∈E（R），a∈Al（R），ea＝aσ（e）.

证明 1）⇒2），1）⇒3），1）⇒4），1）⇒5），显然.

2）⇒1）取g＝e，则有e＝eσ（e）.再取g＝1－e，则σ（e）＝eσ（e），从而σ（e）＝e.∀r∈R，取g＝e＋er（1－e），显然g∈E（R），由eg＝gσ（e）得，er（1－e）＝0.从而R是Abel环.类似地可证3）⇒1）.

4）⇒1）∀e∈E（R），∀r∈R，令a＝er（1－σ（e））∈Ar（R），则er（1－σ（e））＝ea＝aσ（e）＝0.由定理1，R是Abel环，且σ（e）＝e，∀e∈E（R）.类似地可证5）⇒1）.

推论9 设R是环，则以下命题等价：

1）R是Abel环；

2）∀e，g∈E（R），eg＝ge；

3）∀e∈E（R），a∈A（R），ea＝ae.

[1]Huh C，Lee Y，Smoktunowicz A.Armendariz rings and semicommutative rings[J].Comm Algebra，2002，30（2）：751-761.

[2]Kim N K，Lee Y.Armendariz rings and reduced rings[J].J Algebra，2000，223：477-488.

[3]Kim N K，Lee Y.Extension of reversible rings[J].Pure Appl Algebra，2003，185（1／2／3）：207-223.

[4]魏俊潮.幂等元在环论中的应用[D].扬州：扬州大学，2010.

The Properties and Characterization of Abelian Ring

WAN Ling－yu
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper researched on Abelian rings with endomorphisms，obtained abundant of properties and characterization of such rings，and generalized many known results as well.

Abelian rings；idempotent；endomorphism

O153.3 MSC2010：13M05

A

1674-232X（2012）04-0319-04

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.007

2011-01-01

杭州师范大学2012年“沈括杯”大学生科技创新项目.

宛凌宇（1987—），男，基础数学专业硕士研究生，主要从事代数学研究.E-mail：shuhunwly2006＠163.com