国内外保险投资和保险定价研究的发展评述

毛 宏

（上海第二工业大学经济管理学院，上海 201009）

国内外保险投资和保险定价研究的发展评述

毛 宏

（上海第二工业大学经济管理学院，上海 201009）

回顾了国内外近年来保险投资和保险定价研究的主要发展，着重评述了最优控制理论、随机微分博弈理论在保险投资与最优保险定价中的运用以及保险定价中如何融入资本分配因素，提出了有待进一步研究的问题以及对于我国保险投资和保险定价研究工作的意义。

保险；投资和定价；评述；最优控制理论；随机微分博弈；资本

0 引言

保险定价是保险公司经营管理的一项重要内容。保险定价工作的好坏直接影响到保险公司的经营效益和生存与发展。20世纪60年代开始的国际资本市场的兴起，使保险定价工作的内容和重心逐渐从保险标的本身风险定价向综合考虑投资风险、利率风险和保险标的本身风险定价的方向转移。尤其是随着国际资本市场的发展，国际金融市场的复杂性要求在保险定价中运用各种复杂的数学理论和方法，因此，随机过程理论和方法、随机最优控制理论及优化技术、随机微分博弈理论以及现代投资组合理论在保险定价中得到了广泛的运用。本文在文献[1]的基础上对近年来国内外保险投资与保险定价的最新发展作一评述。

1 保险投资的研究

随着最优控制理论的不断发展和完善，它在保险中的运用也越来越广泛。不少学者探讨了如何运用随机最优控制理论来确定最优的保险投资组合。Merton[2]对于最优控制理论在经济学和金融学领域的应用做了开创性的工作。Browne[3]以保险公司为例研究了具有不可控随机现金流或随机风险过程的企业的最优投资决策。Hipp和Plum[4]假设保险公司的风险过程为复合泊松随机过程，并假设保险公司的盈余可用于投资于资本市场指数，保险公司投资的目标是最小化风险过程的破产概率，通过建立Bellman方程确定最优投资策略。Korn[5]延伸了Browne[3]的研究结果，提出了最不利情况下（worst-case）的保险公司投资组合优化的概念并以保险公司终期财富在最不利情况下的指数效用最大为目标确定了最优投资组合。Can和Wan[6]讨论了基于Hamilton-Jacobo-Bellman方程的最优比例再保险和最优投资，他们分别讨论了价值函数为保险公司终期财富的指数效用函数和势效用函数的情形。Chen, Li和Li[7]探讨了具有VaR约束的保险公司最优再保险和最优投资策略的确定。近来也有一些学者研究了如何运用随机微分博弈理论确定保险公司的最优投资策略。Browne[8]研究了具有不同的但相关的投资机会的两个保险公司的随机动态投资博弈，借助于随机微分博弈理论求得这两个保险公司的最优投资策略。Zhang和Siu[9]基于随机微分博弈研究了保险公司在不确定的环境下的最优再保险和最优投资的问题。他们把最优投资问题处理成两个参与人的、零和的、保险公司和市场之间的随机微分博弈，这里的市场被假定为虚拟的参与人，并分别以最大最小化保险公司终期期望财富和最小最大化保险公司破产概率为目标确定了最优再保险和最优投资策略。Zeng和Li[10]讨论了基于均值-方差准则的投资和再保险问题的最优时间一致性（time consistent）的方案。他们假定，保险公司的盈余过程是一个扩散的随机过程，金融资产的价格过程是一个几何布郎运动的随机过程，讨论了该问题的存在性定理，并用解析方法获得了显式最优解。他们的研究结果表明：时间一致的最优投资和再保险策略与保险公司的总财富相互独立；风险资产的参数不影响再保险和投资策略；保险公司的保费收益率不影响最优策略但影响最有价值函数；再保险会增加均值方差效用。Zhao和Rong[11]研究了恒定方差弹性下的多种风险资产的最优投资组合的确定，并讨论了市场参数的改变对最优投资策略的影响。Emms[12]讨论了DC（define contribution）养老金计划的整个生命周期的投资和消费问题，以生命期总的期望消费最大目标，确定了最优的投资组合策略和最优的消费。

2 保险定价的研究

（1）最优保险定价的研究

传统的保险定价以均衡原理为基础，即以收取的保费足以支付保险公司的索赔损失确定保险价格。但是，追求利益（效用）最大化和风险最小化是保险公司的最终目标，因此保险定价应基于保险公司的经营目标，最优保险定价则以保险公司利益（或效用）最大化为目标或风险最小化（如：破产概率最小）为目标确定保险价格。Taylor[13]提出了在考虑市场竞争的条件下如何确定最优保险价格，以保险公司利润最大为目标，用最优化技术来确定最优解。Ligon和Thistle[14]发展了一个市场竞争条件下的保险定价模型，假定保险公司最大化他们的期望利润，其约束条件是无偿付能力概率小于一个给定常数。模型中还假定保险公司是过分自信的，他们会高估他们对于损失估计的精确度。文章的结果表明，由于偿付能力的约束，价格变动的分布呈现正偏峰的态势。最近Emms[15]运用随机最优控制理论，以保险公司终期财富最大化为目标，并考虑到市场供求规律，求得了最优保费。Emms[16]延伸了他的上述研究，运用动态规划，以保险公司终期财富的期望效用最大化为目标确定了最优保费。Emms和Haberman[17]探讨了在市场竞争的条件下最优保费的确定。但他们的所有研究并没有考虑保险公司的投资因素。

（2）融入资本因素的保险定价研究

为了吸收保险合同的索赔风险，保险公司必须持有一定量的资本，但筹集资本金需要花费一定的成本。而保险公司的资本水平和筹资成本会影响保险公司的偿付能力和净收益。因此，如何在保险产品之间合理分配资本并在保险产品定价中考虑资本因素，是当今国际保险学术界探讨的一个热点问题。Cummins[18]总结和评述了各种权益资本分配的方法，Zanjani[19]讨论了巨灾保险的定价和资本分配，假定不考虑保险公司由于财务困难而产生的成本。Yow和Sherris[20]探讨了在股东和公司价值目标最大化目标下如何确定最优定价策略和资本化策略。Zanjani[21]提出了根据各风险单位造成的违约风险分配资本并从社会最优的目标出发确定保险价格。

保险监管对于减少保险公司的违约风险，减少由于信息不对称以及投保人和保险公司之间的代理冲突，以及切实维护投保人的合法权益是十分重要的。近年来，世界各国都十分重视对保险公司偿付能力的监管。在过去的十五年间，各国都在修订偿付能力监管标准，着重于引进风险基础的资本（Risk based capital, RBC）监管[22]。各种不同的风险基础的资本要求已经分别在加拿大（1994）、美国（1996）、澳大利亚（2001）、英国（2004）、新西兰和瑞士（2006）引入。在欧洲经济共同体，风险基础的资本要求将在保险监管系统Solvency II 的框架下在2013年开始全面实施。因此，在保险定价中需要考虑保险监管部门的资本管制要求。

（3）融入保险投资因素的保险定价研究

近年来，由于保险投资对于保险公司的作用日益加强，国外学者不断地在探讨如何在保险定价中融入保险投资因素，并在考虑投资收入与投资风险对于保险价格的影响而合理确定保险价格。Bacinello等[23]以期权定价模型为基础讨论了一次支付保费和分期等额支付保费的投资联结生死两全保单的价格确定。Milevsky等[24]比较了各种人寿保险定价的研究，并以期权定价理论为基础讨论了具有保证收益率的和死亡保险金给付的变额年金保险的定价。他们在比较了实证分析和理论估计的结果后指出，影响变额年金死亡保险金给付金额的主要因素为投保人性别、投保年龄以及投资价值的波动等等。Young[25]应用均衡效用原理计算了权益指数连结的人寿保险商品的价格和准备金并假定该保险商品的死亡保险给付金是风险资产的函数。Branger, Mahyni和Schneider[26]讨论了在保险费率既定的情况下，投保人如何选择最优的投资组合和最佳保证收益率方案从而使他的期望效用最大。刘海龙和吴冲锋[27]探讨了在保险公司为风险中性假设的条件下，运用倒向随机微分方程理论，研究了保险公司在风险投资的框架下的保险定价问题。他们首先建立了保险定价问题的倒向随机微分方程，然后根据求出随机微分方程的显式解，推出了由风险投资决定的保险定价公式，最后，用算例进行了分析。李学锋[28]运用倒向随机微分方程的理论，研究了保险公司在风险投资框架下的保险定价问题。首先，建立了保险定价问题的线性正倒向随机微分方程数学模型，然后根据一类特殊线性正倒向随机微分方程的显式解，推出了由风险投资所确定的保险定价公式。该模型对保险公司合理收取保费提供了理论参考。赵正堂[29]总结和评价了五种金融定价模型：资本资产定价模型、套利定价模型、期权定价模型、资产负债模型和贴现现金流模型在保险定价中的运用。周桦[30]利用金融市场无套利原理，讨论了通过计算风险中性概率下的合同负债期望现值，得出合同初始时刻的负债公允价值，进而确定了分红保险的公平价格的定价方法。丰雪等[31]引入了金融风险中性定价思想，提出了新的保险定价方法。在不完全的保险市场，利用信息论领域中推测概率分布的最小叉熵优化模型，对经验损失分布进行了调整，得到保险风险中性最小叉熵密度，进而确定了新的保费。杨建奇和肖庆宪[32]利用公平保费原理探讨了幂型期权的保险精算定价。考虑到市场信息对风险资产价格的影响的随机性，他们假定价格为跳—扩散随机过程，并导出了幂型期权的价格计算公式。郑红、郭亚军和曾华[33]运用供需均衡原理取代了金融市场的无套利均衡原理，推导出保费精算定价公式，并证明了他们所得到的纯保费即为看涨期权的价格。

（4）考虑长寿风险的保险定价

随着科学技术的发展和人类社会的共同进步，人的寿命在不断地延长，死亡率降低的风险成为经营年金保险的保险公司面临的一大风险，已经有一些学者开始研究有关死亡率改进的风险问题。Lin[34]等讨论了老龄化趋势并用台湾的生命表数据分析了死亡率降低对于台湾年金保险的影响。Cairns[35]讨论了长寿风险债券的死亡率降低风险定价的问题。Mao[36]等结合中国的实际，对中国年金市场死亡率降低风险进行了数量分析，并指出，中国年金保险市场面临着低利率和死亡率降低的双重风险的压力。Berry等[37]讨论了长寿风险的定价，他们运用澳大利亚的历史数据分析了影响长寿风险的主要因素以及对年金价格的影响。

3 有待研究的问题和对我国保险定价工作的意义

从以上综述中我们可以看出，国外在保险定价中融入投资因素方面已有了不少的探讨，但这些研究存在着一些问题。(1) 只是在既定的投资组合前提下讨论保险定价的问题，或是在保险费率给定的前提下讨论最优投资组合和保证收益的选择。但资金运用的效果对保险价格和保险公司的偿付能力会产生影响，保险投资采用不同的投资组合会产生不同的投资收益和投资风险，从而影响保险价格的高低，同时，保险价格的偏移和波动也会影响最优投资组合的选择。(2) 资本在不同保险产品之间的分配都以风险测度，如以VaR或违约概率或违约卖出期权为基础。但资本分配如果只考虑风险，将会鼓励保险公司的冒险行为，从而产生道德风险。因此，资本分配不仅要考虑风险，而且要考虑资本所产生的收益。(3) 年金保险的定价需要考虑保险公司利益（或效用）最大化的目标，而且需要综合考虑多种重要的风险因素。(4) 保险定价需要考虑新的资本监管要求，如欧共体将在2013年实施的、今后可望成为最有影响的Solvency II 保险监管体系。

我国目前的保险风险定价和度量的研究和实务工作与国外发达的国家相比还存在着较大的差距。随着我国金融、保险市场的进一步开放和证券投资市场的逐步完善，市场化进程的进一步加快和保险资金的投资多元化，保险标的本身风险状况对保险定价的影响程度有所降低，保险资金投资的风险大小和收益率的高低成为了影响保险定价的关键制约因素，很多保险公司因为保险资金投资风险和收益失控引发了偿付危机，因此，我们有必要进一步地研究包括保险资金投资行为因素在内的保险风险定价模型。如：在保险定价中考虑利率的随机波动、投资收益和风险以及在保险定价中综合考虑持有的资本与偿付能力相互作用的关系等。随着人口老龄化问题的出现以及人们寿命的延长，人们对于年金生存保险的需求急剧增加，死亡率降低风险成为了我国年金保险定价需要考虑的主要风险，它直接影响着人寿保险公司的偿付能力，而死亡率降低风险、利率风险和投资风险又同时存在和共同作用着，因此，需要研究年金保险的定价以及在年金保险定价中如何准确地预测死亡率降低风险并综合考虑利率风险和投资风险。我国的政府保险监管机构已经开始对保险公司实行偿付能力的监管，实行以风险资本为基础的偿付能力管制是一种必然的趋势，类似于新巴塞尔协议的保险公司风险资本管制系统Solvency II，将对我国保险公司的有效监管有着重要的借鉴意义和实际价值。

4 结论

本文介绍了国内外近年来在保险投资和保险定价方面的研究进展，着重评述了最优控制理论、随机微分博弈理论、现代投资组合理论在保险投资和保险定价中的应用，提出了有待进一步研究的问题以及对我国保险定价工作的意义。

[1] 毛宏, 罗守成, 唐国春. 国外保险定价的发展及其对我国的借鉴[J]. 运筹与管理, 2003, 12(2): 77-82.

[2] MERTON R C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous time model[J]. Economic Theory. 1971, 3: 373-413.

[3] BROWNE S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and minimizing the probability of ruin[J]. Mathematics of Operations Research, 1995, 20(4): 937-958.

[4] HIPP C, PLUM M. Optimal investment for insurers[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27 (2): 215-228.

[5] KORN R. Worst-case scenario investment for insurers[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 31: 1-11.

[6] CAO Y, WAN N. Optimal proportional reinsurance and investment base on Hamilton-Jacobi-Bellman equation[J]. Insurance: Mathematics and Economic, 2009, 45, 157-162.

[7] CHEN S, LI Z, LI K. Optimal investment–reinsurance policy for an insurance company with VaR constraint[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2010, 47, 144-153,

[8] BROWNE S. Stochastic differential portfolio games[J]. Applied Probability, 2000, 37 (1): 126-147.

[9] ZHANG X, SIU T K. Optimal investment and reinsurance of an insurer with model uncertainty[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009. 45: 81-88.

[10] ZENG Y, LI Z. Optimal time-consistent investment and reinsurance policies for mean-variance insurer [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2011, 49: 145-154.

[11] ZHAO H, RONG X. Portfolio selection problem with multiple risky assets under the constant elasticity of variance model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2012, 50: 179-190.

[12] EMMS P. Lifetime investment and consumption using a defined-contribution pension scheme[J]. Economic Dynamics and Control, 2012, 36: 1303-1321.

[13] TAYLOR G C. Underwriting strategy in a competitive insurance environment[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1986, 26: 59-77.

[14] LIGON J A , ThISTE P D. A behavioral model of insurance pricing[J]. Insurance Issues, 2007, 30(1):46-71.

[15] EMMS P. Dynamic Pricing of General Insurance in a Competitive Market[J]. ASTIN Bulletin, 2007a, 37(1): 1-34.

[16] EMMS P. Pricing general insurance with constraints[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2007b, 40: 335-55.

[17] EMMS P, HABERMAN S. Pricing general insurance using optimal control theory[J]. ASTIN Bulletin, 2005, 35(2): 427-53.

[18] CUMMINS D. Allocation of capital in the insurance industry[EB/OL]. [2011-01-01]. Working Paper, 2000. http://www. Google.com.hk#hl=zh-CN&newwindow=1&safe=strict&site=&sou.

[19] ZANJANI G. Pricing and capital allocation in catastrophe insurance[J]. Financial Economics, 2002, 65: 283-305.

[20] YOW S M, SHERRIS. Enterprise risk management, insurance pricing and capital allocation. UNSW Actuarial Studies Working Paper, 2007. [2007-03]. http://www.docs.fce.unsw.edu.au/actuarial/research/papers/2007/iisyowsherrisfinal.pdf.

[21] ZANJANI G.. An economic approach to capital allocation[J]. Risk and Insurance, 2010, 77: 523-549.

[22] CUMMINS J D, PHILIPS R D. Capital adequacy and insurance risk-based capital system[J]. Insurance Regulation, 2009, 28:25-72.

[23] BACINELLO A R, ORUT F. Pricing equity-linked life insurance with endogenous minimum guarantees[J].Insurance: Mathematics and Economics, 1993, 12: 245-257.

[24] MILEVSKY M A, Posner S E. The titanic option: valuation of the guaranteed minimum death benefit in variable annuities and mutual funds [J]. Risk and Insurance, 2001, 68(1): 93-128.

[25] YOUNG. V R. Equity-indexed life insurance: pricing and reserving using the principle of equivalent utility [J]. North America Actuarial Journal, 2003, 9: 68-86.

[26] BRANGER N, Mahayni N, Schneider J C. On the optimal design of insurance contracts with guarantees[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2010, 46: 485-492.

[27] 刘海龙, 吴冲锋. 基于投资理论的保险定价公式[J]. 中国管理科学, 2001(6): 1-5.

[28] 李学锋. 基于投资理论的保险定价模型[J]. 中南民族大学学报: 自然科学版, 2007(4): 87-89.

[29] 赵正堂. 金融型保险产品定价模型研究[J]. 厦门大学学报: 哲学社会科学版, 2008(4): 42-47.

[30] 周桦. 中国分红保险产品定价研究[J]. 保险研究, 2008(12), 40-46.

[31] 丰雪, 李兴斯, 张阚. 最小叉熵优化模型在保险定价中的应用研究[J]. 运筹与管理, 2008(12): 107-112.

[32] 杨建奇, 肖庆宪. 幂型期权的保险精算定价[J].（英）工程数学学报, 2010(6): 549-555.

[33] 郑红, 郭亚军, 曾华. 基于供需均衡的保险精算与期权定价的相关性[J]. 东北大学学报: 自然科学版, 2010(7): 1046-1049.

[34] LIN F, LIN T M, WU H J. Comparison of the impact of mortality improvement trends on annuity pricing among Taiwan, Japan, and Sweden[J]. Demography, 2003(27): 37-66.

[35] CAIRNS A J G, BLAKE D, DOWD K, et al. Pricing the risk on longevity bonds[C]//Preprint, Heriot-Watt University, 2005.

[36] MAO H, Krzysztof M, OSTASZEWSKI K M, et al. Risk analysis of mortality improvement: the case of Chinese annuity markets [J]. The Geneva Papers on Risk and Insurance: Issues and Practice, 2008, 33: 234-249.

[37] BERRY P, TSUI L, JONE G. Our new “old” problem----pricing longevity risk in Australia[C]//Presentation to the 6thInternational Risk and Capital Markets Solutions Conference, Sydney, Australia, 9-10 September, 2010.

The Review of the Development of the Study of Insurance Investment and Pricing All Over the World

MAO Hong
( School of Economics and Management, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China )

The development of the study of insurance investment and pricing all over the world is reviewed. The application of optimal control theory and stochastic differential game in the insurance investment and optimal pricing are focused on and how to determine the insurance price when considering the capital factor is also discussed. Finally, the problems that would be further studied are proposed and the significance to the approach work of insurance investment and pricing in our country is also discussed.

insurance; investment and pricing; review; optimal control theory; stochastic differential game; capital

F840.32

A

1001-4543(2012)03-0161-05

2012-06-01;

2012-09-13

毛宏（1959－），女，江苏靖江人，副教授，学士，主要研究方向为风险管理和保险研究，电子邮箱hmaoi@126.com。