一种新的多信号卷积混合信号盲分离算法✴

付绍军，赵国栋，卓琨（空军工程大学电讯工程学院，西安710077）

一种新的多信号卷积混合信号盲分离算法✴

付绍军，赵国栋，卓琨
（空军工程大学电讯工程学院，西安710077）

对于含噪声情况下多个源信号卷积混合盲分离，由于混合矩阵比较复杂，分离算法会出现迭代次数增加、收敛速度变慢等问题。在对多信号卷积混合进行合理简化的基础上，提出一种以四阶累积量为独立准则的多信号卷积混合的新的时域盲源分离算法。由于采用高阶累积量为独立准则，该算法对高斯噪声具有良好的抑制作用，改善了信噪比。其次，算法也建立了步长因子的选取与二次残差之间的非线性函数关系，使得算法既获得了较快的收敛速度，也得到较高的分离精度。仿真数据表明提出的算法对于多个源信号卷积混合具有良好的分离效果。

盲源分离；卷积混合；四阶累计量；二次残差

1 引言

盲源分离就是在源信号和混合参数均未知的情况下，仅通过观察信号并根据源信号的统计独立性恢复出源信号的技术。目前该技术广泛应用于通信的各个领域，尤其是在无线通信、信号处理等方面。然而，目前盲源分离算法研究大多都是针对瞬时混合模型的，但是在实际的通信情况中，源信号往往都是经过不同路径卷积混合而成的，所以有必要对卷积混合盲分离问题进行深入研究。

卷积混合结构是复杂的，目前对于卷积混合信号的盲分离可以从时域和频域两方面进行［1］，其中频域算法可以利用快速傅里叶变换，则计算量较小，该方法可以利用瞬时盲分离算法，具有一定优势，但是在重构信号前，必须解决盲源分离固有的尺度不确定性和排列不确定性，这是由于这两个不确定性严重影响了分离性能。而时域算法则采用FIR滤波器模拟卷积混合模型，然后通过估计FIR滤波器系数来实现信号的分离。目前，该算法只限于两个卷积混合信号的分离。针对该问题文献［2］提出了基于相关理论的卷积混合信号在多个源信号情况下的扩展算法。但是该算法忽略了噪声的影响，本文在此基础上提出一种基于四阶累积量的独立准则的多源卷积混合信号时域盲分离算法，该算法在合理简化卷积混合模型的基础上，利用高阶独立性准则，对FIR分离滤波器的系数进行估计，并通过反向回归分离模型分离出源信号，为存在多个源信号情况下卷积混合提供了一种有效算法。

2 多信号卷积混合模型

在实际的通信环境中，源信号往往是经过不同的路径，在不同的时间延迟和噪声干扰下，才被传感器接收。这种复杂的通信情况可以用卷积混合模型来描述。在含噪声的情况下，卷积混合模型可用下式表示［3］：

式中，⊗表示卷积运算；X（t）为传感器接收到的观测信号；S（t）为相互独立的源信号；A（t）为未知的线性滤波器矩阵，表征从源信号到传感器的传播途径；B（t）为通信系统中的噪声项。假设A（t）为L阶因果可逆滤波器，则式（1）又可以表示为

式中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；Xj（t）为第j个传感器接收到的信号；Si为第i个源信号；Aji（k）为第i个源信号到第j个传感器的因果FIR滤波器的第k个系数；L为滤波器的阶数。为了简单起见，假设源信号数目与观测信号数目相等，即m=n，则在有噪声情况下的卷积混叠模型可用图1表示。

将式（1）的卷积混合模型变换到Z域可得：

卷积混合信号分离的目标就是找到一个阶数为L的分离滤波器矩阵W（z），使得输出信号Y（t）= W（z）X（t）相互之间统计独立，其中

3 卷积混合模型的合理简化

卷积混合系统的噪声一般可分为高斯噪声和非高斯噪声，由于本节提出的算法采用四阶累积量作为独立判据，由高阶统计理论可知，高阶累积量对高斯过程有抑制作用，应用于混有加性高斯噪声的非高斯信号时可改善信噪比情况［4］。而对于非高斯噪声则可作为独立的源信号处理，因此在后面的讨论当中可以忽略噪声项。则式（2）可简化为

对于混合滤波器矩阵A（z）而言，主对角元素的系数往往经过排列变化和滤波变化被非对角元素的滤波器系数所吸收，所以对角元素Aii（z）=1，i=1，2，…，m。则可将混合滤波器矩阵A（z）进一步简化为［5］

式中，A1m和Am1表示两个滤波过程的交叉耦合。

4 算法的提出

为了简化问题，这里假设源信号数和观测信号数均为3，即n=m=3，则混合滤波器矩阵A（z）可表示为

本文算法就是寻找一个滤波器矩阵W（z）来逼近A（z）的逆矩阵使得S（t）=W（z）X（t），即得到下式矩阵：

其中，D（z）为A（z）的行列式，为保证A（z）可逆，则D（z）不能为零。而且如果多项式D（z）的零点在单位圆内，则系统是稳定的。分离信号S（t）就是通过W（z）由传感器的滤波信号进行重构的，源信号和6个滤波器也是通过反向传播的回归分离过程逐步识别的，源信号重构过程可用下式表示：

式中，lij为滤波器Wij的长度。式（9）用矩阵可表示为

为得到分离信号S（t），则需要得到逆滤波器W（z）的系数Wij。反向传播回归分离过程［6］如图2所示。

本文通过在随机自适应迭代过程中最大化基于独立性准则的代价函数来估计逆滤波器W（z）的系数。迭代公式可用下式表示：

式中，uij（t）为步长因子，函数φij（t，k）为可使滤波器系数收敛的代价函数，该代价函数基于独立性准则，且满足收敛性，即φij（t，k）=0。根据前人研究，给出了相关独立性的评判准则［2］，即输出解相关准则：

但是由于文献［2］忽略了噪声的存在，所以在实际应用中受到了极大的限制，并且该方法为固定步长算法，算法不能得到良好收敛效果。

本文提出的高阶累积量的判据准则只需待分离信号统计独立甚至更弱的先验知识，且高阶累计量对高斯白噪声有良好的抑制作用。本文在分离系统中使用基于输出信号的四阶累积量的准则调整滤波器W（z）的系数，使得分离信号满足下式：

在式（13），期望值在实际中被统计平均值所代替，基于高阶累积量的方法并以估计输出信号的高阶统计信息作为独立判据。从式（11）可知，信号的分离准则被定义为一种最小均方准则问题。本文并建立步长因子与衡量分离状态的二次残差［6］的绝对值REQ（t ）之间的非线性函数关系，使得步长根据分离的状态自适应变化，使算法的收敛速度和分离精度都有所改善。其中REQ可用下式表示［6］：

式中，α、β为两常数，通过式（15）使REQ（t ）的递减规律与步长因子的选取联系起来。当REQ（t ）较大时，表示系统处于分离的初始阶段，这时选择的步长应该较大，以获得较快的收敛速度；而当REQ（t ）较小时，表示系统处于分离的后期阶段，算法应较小的步长值以获得较好的分离效果，即通过式（15）即可以获得较快的收敛速度以及较高的分离精度。

本文提出的多信号卷积混合的时域盲分离算法可表示为

5 仿真验证

为了验证算法的有效性，利用3个通信信号在存在3 dB高斯白噪声情况下进行卷积混合盲分离试验。3个源信号分别为S1调相信号：sin（2π1000t-6cos））；S2调幅信号：sin）sin）；S3方波信号：sign（cos））。

混合滤波器矩阵为

且混合滤波器阶数L=25，初始步长uij=0.001，α =10，β=0.04。采样频率为5 kHz，其中混合滤波器A（z）中的6个滤波器的响应如图3所示，仿真结果如图4所示。

从图4的仿真结果可知，本文提出的多源卷积混合的盲分离算法成功实现了多个源信号在卷积混合情况下的盲分离，并且从时域波形上可以看出分离效果较好，只是分离信号与源信号相比在幅度和顺序都发生了变化，这是由盲源分离的不确定性造成的，这点可通过图5的散点图来说明。

对散点图的几点说明［7］：

（1）横轴表示各个源信号的取值范围，纵轴表示分离信号的取值范围；

（2）若yj与si对应的散点图呈一条直线，说明yj是si的分离信号，当直线与横轴正方向呈锐角，说明两者相位也是一致的；呈钝角则说明相位相反；如果yj不是si的分离信号，则散点图散乱尽管其非常规则；

（3）当源信号满足si≠sj（j≠i），散点图的每行每列的小图中最多形成一条直线或近似直线。

从图5可以看出y3是s3的恢复信号，幅度改变了，且相位反相；y2是s1的恢复信号，幅度改变了，且相位反相；y1是s2的恢复信号，幅度没变，但相位反相。

为了能进一步体现本文算法的优越性，利用本算法和文献［2］提出的基于去相关准则的算法分别对上述的含3 dB高斯白噪声的卷积混合信号进行盲分离试验，并从二次残差REQ和算法收敛性能两方面对仿真结果进行分析。REQ用于检验源信号的恢复质量，其值的绝对值越小，则说明分离效果越好。通过式（14）计算，分离前混合信号与源信号REQ分别为-43.452 dB、-43.321 dB、-45.221 dB，采用本文方法得到分离后的分离信号与源信号之间的REQ分别为-6.235 dB、-7.765 dB、-7.231 dB，而利用文献［2］的算法，对三卷积源进行分离试验得到的分离后的分离信号与源信号之间的REQ分别为-13.341 dB、-14.231 dB、-13.732 dB。本文方法较文献［2］的方法源信号恢复质量明显更高，分离效果更好。以3个信号REQ的平均值REQ随着迭代次数的变化情况来表征算法的收敛性能，仿真结果如图6所示。

从图6中可以看出，本文算法收敛速度较文献［2］算法明显加快，且精度也得到了提高。这是由于本文算法对卷积混合模型进行了简化，需要求解的参数也减少，计算量大大减少，算法引入四阶累积量这一独立性准则，使得算法具有一定的抗高斯噪声的能力，也为卷积模型的简化提供了依据。实验结果表明本文提出的盲分离算法可成功应用于多源卷积混合信号的盲分离问题，并得到了良好的分离效果。

6 结论

本文针对多个信号卷积混合的分离问题，在多信号卷积混合的一种合理的简化模型的基础上，提出以四阶累积量为独立准则，并利用后向分离系统成功实现多信号卷积混合的盲分离。由于高阶累积量对高斯噪声是盲的，可自动改善信噪比。其次，算法也建立了步长因子的选取与二次残差之间的非线性函数关系，使得算法既获得了较快的收敛速度，也得到了较高的分离精度。仿真表明，本文提出的算法对于多个源信号卷积混合具有良好的分离效果，且较文献［2］的相关方法收敛速度明显加快。

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FU Shao-jun was born in Xinyang，Henan Province，in 1987. He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

Email：228362397＠qq.com

赵国栋（1989—），男，山西太原人，硕士研究生，主要研究方向为卫星通信；

ZHAO Guo-dong was born in Taiyuan，Shanxi Province，in 1989.He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

卓琨（1986—），男，陕西西安人，硕士研究生，主要研究方向为卫星通信。

ZHUO Kun was born in Xi′an，Shaanxi Province，in 1987.He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

A New Blind Source Separation Algorithm for Convolved Multiple Source Signals

FU Shao-jun，ZHAO Guo-dong，ZHUO Kun
（Telecommunication Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi′an 710077，China）

For the convolution mixture of multiple sources with noise signal，the mixed matrix is complex.The iteration number increases and convergence speed is more slow in the separation process.In this paper，a blind source separation algorithm for convolution mixture of multiple sources in time domain is proposed.This algorithm takes fourth-order cumulant as judgment criterion，so the algorithm can inhibit Gaussian white noise as the criterion offourth-order cumulant.The nonlinear function between the step-size ofthe algorithm and REQ is established，so convergence rate of the algorithm is faster and separation accuracy is higher.Simulation results illustrate the good performance of this algorithm for the convolution mixture of multiple source.

blind source separation；convolution mixture；fourth-order cumulant；REQ

TN911

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.015

付绍军（1987—），男，河南信阳人，硕士研究生，主要研究方向为卫星通信；

1001-893X（2012）03-0328-05

2011-11-16；

2012-01-20