基于总体最小二乘的大地测量反演理论及应用研究

王乐洋

东华理工大学测绘工程学院，江西南昌330013

基于总体最小二乘的大地测量反演理论及应用研究

王乐洋

东华理工大学测绘工程学院，江西南昌330013

对于地球物理大地测量学中大部分线性模型来说，其系数矩阵并非常数阵，而是由其他方法观测、计算得到的；一般由于数据采样大小、模型化及测量等原因，系数矩阵是具有一定误差的变量矩阵。如何处理系数矩阵和观测向量同时存在的误差，是大地测量反演等数据处理领域研究的新课题之一。总体最小二乘（total least squares，TLS）方法是处理这一问题的有效方法，论文的研究内容分为以TLS为中心的理论（解的性质及算法）研究和应用（TLS大地测量反演）研究两个方面，主要包括：

（1）系统研究TLS解的性质，通过理论推导和证明发现TLS解及数学期望是最小二乘（LS）解及数学期望的线性变换；TLS单位权方差估值小于LS单位权方差估值；TLS解的条件数总是比LS解大，TLS解更容易受到数据误差的影响等。

（2）系统研究TLS的几何解释及适用性，定义与残差距离有关的角度，绘制了LS、数据最小二乘（DLS）和TLS准则的几何关系图；推导TLS的扰动分析公式，通过分析发现，该公式是LS和DLS扰动分析公式的概括（统一）形式；详细推导了倍乘、和或差、线性、非线性函数等关系下及两个相关变量矩阵之间的TLS误差传播定律。

（3）详细推导观测值与系数矩阵元素相关且不等精度下的TLS计算公式，利用矩阵拉直运算求解随机模型，并利用组合观测值的思想将TLS转化为传统的、为大家熟知的LS计算方法，给出了TLS平差的精度评定公式，利用测边网坐标平差验证了方法的有效性。

（4）采用岭估计法处理加权TLS的病态性问题，推导相应的求解公式及均方误差评定精度的方法，定义了病态加权TLS中的模型参数分辨矩阵，并讨论岭参数的含义及其作用，给出确定岭参数的岭迹法、广义交叉核实法和L曲线法；算例显示本文方法是非常有效的。

（5）推导附有相对权比（标度）的加权TLS估计公式，提出确定相对权比的验前单位权方差法和目标函数最小化法。当观测值和系数矩阵的单位权方差在估计之前比较准确已知时，验前单位权方差法可以确定出合理的相对权比并得到较好的计算结果；当验前单位权方差不准确时，采用目标函数最小化法来确定相对权比，可以得到目标函数最小的结果。

（6）推导独立、不等精度、同单位权方差时的附随机等式约束的加权TLS方法；提出TLS联合反演方法，详细推导了线性、非线性等情况下加权TLS的单一反演和联合反演方法，给出了算法流程图及迭代步骤。

（7）提出并推导地壳应变参数反演的TLS方法，包括边长变化、坐标位移反演应变参数的TLS方法；提出地壳应变参数反演的多维变量模型，并推导相关的TLS方法；提出了基于TLS的非均匀地壳应变模型（TLSHSM），利用1998—2004年的249个GPS水平速度场观测数据和TLS－HSM反演川滇地区的应变率参数，通过对比分析发现，TLS－HSM是比LS－USM（均匀模型）更适合该区域地壳运动和形变解释的模型。

（8）利用2002—2003年的长白山天池火山区垂直位移和水平位移观测数据进行Mogi模型的TLS单一反演和联合反演，通过分析发现，TLS结果整体上优于最小二乘结果，顾及了线性化以及观测等原因带来的系数矩阵误差，参数结果更加可信，并且也更加符合其他方法得到的参数结果，验证了本文推导的病态、加权、非线性及联合反演等一系列情况下TLS方法的有效性。

（9）利用Envisat／ASAR雷达影像处理后获取的2008－11－10青海大柴旦Mw6.3级地震InSAR同震形变场数据和LN算法反演了观测值含有粗差情况下的地震Okada矩形位错模型断层参数，断层深度为19.691 5km，倾角为56.892 3°，长度为16.499 3km，宽度为6.854 8km，倾滑量为0.832 6m，中心经度为95.884 7°，中心纬度为37.529 5°，走向方位角为116.411 5°，相应的地震矩为3.108 4×1018N m（Mw6.295 0）。当观测值含有粗差时，LN算法在1范数下求解结构总体最小范数问题可以有效抵抗粗差的干扰，充分利用已有先验信息的同时顾及了观测、线性化等原因引起的系数矩阵误差的影响。

Author：WANG Leyang（1983—），male，lecturer.He received his doctorate in Geodesy and Surveying Engineering from School of Geodesy and Geomatics of Wuhan University in 2011.He is interested in geodetic inversion and geodetic data processing.

E－mail：wleyangwhu＠163.com

Research on Theory and Application of Total Least Squares in Geodetic Inversion

WANG Leyang
Faculty of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang330013，China

P207

D

1001－1595（2012）01－0631－01

国家自然科学基金及创新群体项目（40874003；40974017；41074007；41021061）；教育部博士点基金（20090141110055）；国家863计划（2009AA12Z317）；国家公益地震行业科研专项（200808080）

2011－06－15

王乐洋（1983—），男，讲师，2011年6月毕业于武汉大学测绘学院，获大地测量学与测量工程专业博士学位（指导教师：许才军教授）。主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。