地理教学中的数学推理与动态模拟应用——以中心地理论为例

南京师范大学地理科学学院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

东北师范大学城市与环境科学学院（130024） 陈 伟

地理教学中的数学推理与动态模拟应用
——以中心地理论为例

南京师范大学地理科学学院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

东北师范大学城市与环境科学学院（130024） 陈 伟

克里斯塔勒以德国南部城镇聚落分布为例建立的中心地理论，采用数学推理与动态模拟的方法揭示出的抽象思维与逻辑思维，是进行素质教育与提升学生科学素养的理想素材。本文通过从中心地空间结构的形状，中心地体系结构的推理过程与中心地理论地位判别三个方面以直观的方式再现中心地等级体系空间结构的演化生成过程，对于地理课堂上有效提升学生的抽象思维与逻辑推理能力、培养学生综合素质提供了基于数学推理和动态模拟的一种实现途径。

地理教学；中心地理论；数学推理；动态模拟

一、引言

克里斯塔勒提出的中心地理论是人文地理学的理论基石，其通过精辟的数学抽象、严密的逻辑推理给出了在市场、交通和行政原则驱动下中心地等级体系的形成、体系结构及分布规律，为现代地理学的发展，尤其是城市地理学和经济地理学的发展提供了可扩展的结构性框架。中心地理论很好的体现了地理学研究中抽象性与实用性、科学性与艺术性、宏观性与多尺度特性的统一，是进行素质教育的理想素材，也是提升学生科学素养，加强学生逻辑思维与独立解决问题能力的经典案例。

中心地理论的提出建立在精密的数学抽象和严密的数学推导的基础之上，这与大多数传统的人文地理学理论多通过归纳、总结的方式获得存在明显的不同。这种数学推理与动态模拟方法的应用实际是演绎的逻辑思维方式，具有严谨有序的特征。如何在短暂的课堂教学中对中心地理论和核心内容进行清晰、准确的梳理，并通过深入浅出的、直观性的案例揭示出该理论体系建立过程中的精辟之处，让学生可以感受到该理论在科学性和艺术性上的完美统一，是实现该课程内容教学的重要目标。本文结合作者对该理论的主要研究工作和教学实践，尝试在教学过程中引入数学推理和动态模拟的方法，直观再现中心地理论的主要结论构建与形成过程。从而加深学生对相关内容的理解，强化学生的学习兴趣，并有效提升学生的抽象思维与逻辑推理能力。

二、教学要点与难点

克里斯塔勒（以下简称克氏）提出的中心地理论以近乎完美的正三角形中心地分布、正六边形市场区相互嵌套构成的中心地等级体系是现代人文地理学的理论基石，其主要思想是根据市场原则、交通原则或行政原则，中心地服务范围由圆形逐渐向正六边形演化，并最终形成符合仿生学原理的蜂窝状构造的空间结构（图1）。目前地理教学对于中心地理论概念介绍居多。不同层次中心地形成的最终结构以及不同原则对中心地体系结构形成的驱动和影响是教学的难点所在，也是培养地理学思维和逻辑思维的关键。在教学过程中，需要对如下教学难点进行分解突破：（1）中心地服务范围演化的最终空间结构为什么是正六边形结构？（2）不同原则驱动下的中心地结构为什么存在不同，不同的原则驱动对最终的中心地结构的影响是怎样的？（3）为什么中心地理论是人文地理学的理论基石？

图1 蜂窝状的正六边形中心地等级体系

三、教学过程对于中心地理论的宏观把握

1. 对中心地空间结构形状的教学

中心地空间结构教学的入口点是不同等级中心地服务范围的确定。在教学过程中，我们通过案例引入，同时结合课堂提问的方式，让学生在感性认识的基础上理解中心地正六边形空间结构的由来。首先通过引入自然界中蜂巢、雪花形状与龟背图案的案例，向学生充分展示六边形的特点；另外，通过圆形、正三角形、正方形与正六边形的对比，理解正六边形的优势所在。然后在学生有一定感性认识后，从几何学角度出发，讲解正六边形是除了正三角形、正方形外，其顶点到几何中心等距的多边形中，能够完整（无重叠）覆盖某一区域，且相比于其他所有多边形，具有面积最大，周长最小的优势。

同样从几何学视角出发，对不同等级的城市进行抽象成点后，引入服务区范围的问题。通过课堂教学提问，引导学生思考中心地理论空间结构的核心是每一个城市服务区范围动态竞争进而达到稳定平衡态的问题，进而将问题转化为在给定的地点上如何最优化地对空间进行剖分是中心地理论的核心。空间上不同的点在利益最大化原则基础上，不考虑与邻近点的相互作用关系，将各自形成圆形的服务区范围，然而在考虑要素流动的空间相互作用情况下，圆形服务区势必产生相互影响与空间叠加，从而不同中心地服务范围在空间布局上产生不优化的现象。在系统自组织性的条件下，根据威尔逊最大熵原理，为了使全局与个体达到效益最大化，寻求由圆形服务区向最优化的空间结构模式演变成为动态竞争结果的必然，而正六边形结构不仅在空间上具有完好的无缝弥合性，同时又是一种高效的空间配置模式，因此成为中心地体系空间结构演化的最终选择[1]。

2. 对中心地体系结构推理过程的教学

根据不同边界条件与优化函数的设定，引入影响中心地结构的市场原则、交通原则与行政原则。在教学过程中可通过对不同原则形成的不同类型的六边形结构进行可视化，让学生对不同原则下的空间结构有直观的感性认识。在此基础上，通过引入空间模拟的方法，在不同原则的作用下，由于优化方向与目标不同，使得中心地空间结构演化路径不同，从而导致空间优化下的布局位置、形式也发生相应的改变。如图2所示，将通过展示不同原则下中心地等级的演化过程，让学生理解不同路径下的六边形分布特征及对整个结构体系的影响。

图2 基于三原则下中心地等级体系演化（1-4级）

如上图（2-1），在K=3市场原则主导下，中心地最优化的空间布局为：次一级中心地分布于高一级中心地所组成的正六边形的六个顶点上；在市场区域最优分配下，市场区的空间分布为：原有同一级中心地的服务区将由圆形逐步向六边形过渡，并最终使每个中心地成为比自己高一级中心地所组成的六边形的一个顶点，高一级中心地市场区域内包含着3个次一级中心地市场区域的多级六边形空间模型，从而使得中心地系统达到空间均衡，且从区域内次级中心地开始，中心地的数量关系为：低级中心地为高一级中心地数量的3倍（1-2-6-18-54……）。

如上图（2-2），在市场原则基础上，叠加交通原则，在K=4交通原则主导下，中心地最优化的空间布局为：次一级中心地分布于正六边形边的中点，即如果同一级的中心地间铺设一条交通线，则在这条交通线上将布局比它等级低的所有中心地，也就是说次一级中心地将布局在高一级中心地之间的交通线上，而非六边形顶点上；交通原则下的市场区分布为：高一级中心地在自己的市场区域内包含3个次一级中心地的六边形空间模型，且从区域内次级中心地开始，其中心地的数量关系为：低级中心地为高一级中心地数量的4倍（1-3-12-48-192……）。

如上图（2-3），不同于市场原则与交通原则的经济性原则的理性权威，K=7的行政原则具有国家的、至高无上的权力的权威性[2]。该原则下的中心地强调低级中心地应全部从属于一个高级中心地，即中心地的分布为：最优化的空间布局为次一级中心地全部位于正六边形的区域内；市场区的空间分布为：这样形成的中心地系统将使得高一级中心地的市场区域大致包含7个次一级中心地的市场区，进而形成高一级中心地的市场区域内同时拥有6个次一级中心地的六边形空间模型，且从区域内次级中心地开始，中心地的数量关系为：低级中心地为高一级中心地数量的7倍（1-6-42-294-2058……）。

3. 对中心地理论地位判别的教学

通过引入数学推理与动态模拟的方法，本文基本完成了中心地等级体系建构过程的再现，让学生在认知基础上把握了该理论的重点，并从中学习到了演绎逻辑思维方式对于地理学研究的重要性。但教学进行到这一步并没有全部完成，因为对于一个较为完善且重要的理论而言，抽象思维的锻炼、综合概括与总结能力对于学生能否完全吸收、消化才是至关重要的。因此，让学生明白中心地理论在人文地理学中所占的地位是必不可少的步骤，即为何中心地理论可以成为人文地理学的理论基石[3]。

首先，通过分解中心地理论分析过程的特点，让学生逐渐明白中心地理论是对不同类型空间结构理论的全面概括。遵循“现象发现-理论提炼-实践检验”的思路，克氏将通过众多假设构建不同原则的中心地体系，通过德国南部的城镇进行实践检验，并在此基础上进行模型的修正，从而使其由静态分析向动态演化模拟，首次将非生产性服务业纳入人类经济地理活动的理论分析框架，进而构建了中心地理论。该理论充分吸收了杜能农业区位论、韦伯工业区位论关于生产环节中区位论对不同城镇节点、工业节点空间布局的优点，在此基础上将商业地理中关于商品与服务的非生产性环节引入空间布局。可以说，他所构建的中心地等级体系的理论是对不同类型的空间结构理论的全面概括，具有综合性特征。

其次，教学过程中让学生明白严密的抽象思维与逻辑思维对于升华理论并经得起检验的重要性。克氏在分析过程中通过严谨的数学推导构建理论模型的方法论影响着一代又一代的地理学者，他也因此被称为“理论地理学之父”。实际上，这是一种数学抽象与逻辑推理整合运用的演绎方式，通过将不同等级的城镇节点抽象成点要素，将空间联系的交通线抽象为线要素，在不同影响条件下运用数学推理方式对基于三原则的中心地等级体系进行由静态向动态的演化过程分析，从而将中心地服务区由圆形向正六边形的生成过程模拟出来并衍生出不同类型的中心地结构，使得中心地等级体系以其严密的数学推导与完美的数学图形被公认为人文地理学尤其是城市地理学的理论基础。

四、结语

由克里斯塔勒1933年完成的中心地理论引发对于教学的思考，可以说收获是巨大的。一方面，本文通过数学推理与动态模拟思维方式再现了中心地空间结构体系的生成演化过程，让学生对于该理论有更直观的感性认识；另一方面，本文的主体部分从中心地空间结构的形状入手，兼顾中心地体系结构的推理过程与中心地理论地位判别三个方面，由浅入深，循序渐进，符合教学过程中学生对于知识的接受程度，具有较好的可行性与启发性。最后，克氏在构建理论体系过程中所映射出的抽象与逻辑思维的演绎推理方式，对于学生综合素质的培养具有深远意义。

[1] [德]沃尔特.克里斯塔勒(著),常正文,王兴中等(译).德国南部中心地原理.北京:商务印书馆,1990.

[2] 李小建.经济地理学(第二版).北京：高等教育出版社,2006.

[3] 陆玉麒,袁林旺,钟业喜.中心地等级体系的演化模型[J].中国科学:地球科学,2011,41(8):1160-1171.

（责任编校：顾锦玉）