有效数学作业讲评及有关问题的研究

余启友

(福建省厦门市华侨中学，福建顺昌361005)

作业讲评是数学教师每天必做的常规工作。常见教师在台上讲得大汗淋漓，但效果差强人意。如何让作业讲评更有效?是值得研究的问题。本学期笔者在一次作业讲评时，由于未能及时解疑，从而引发全班学生课后的激烈讨论，并积极参与了问题解决的探究活动。真是“不愤不启，不悱不发”。

1 错解展示

教师:谁对谁错了呢?(学生思索中，一时回答不上)

教师:回到课本再看看定义。

学生3:我认为第二位同学是对的。因为参考答案是这么说的。原因我说不出来。

教师:究竟谁对谁错了呢?请同学们回去查阅相关资料，下一节再讨论。结果一下课，学生就分成好几个小组在激烈争论，并围上来要老师评判。笔者看到学生的求知欲被激起，不愿意失去让学生自主学习的机会。就推说自己也不知道……终于到了下一节课。

2 百家争鸣

教师:上一节作业谁对谁错了呢?有哪位同学已有答案了?

学生5:我查阅了高一学过的平面向量的正交分解及坐标定义:“在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得。这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x，y)”。这里强调了表示向量的坐标必须是由单位正交基底生成的。所以我认为第一个同学是对的。

学生6:好象……不要垂直条件。请看高一必修4习题2。3B组第4题:"设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对(x，y)叫做向量的在坐标系中的坐标……”。

学生7:我认为垂直和单位条件都可以不要。我看了课本阅读与思考《向量概念的推广与应用》，并上网查了n维欧氏空间的基底与坐标定义:“若n维线性空间中任意n个线性无关的向量都可以作为线性空间的一个基。设向可由基向量组表示出，则x1，x2，…，xn称为向量的坐标，记为(x1，x2，…，xn)”。因此我觉得向量的坐标不必是由单位正交基底生成，可以由任何基底生成的。所以第二个同学是对的。

学生8:我支持!什么是坐标?我查了现代汉语词典坐标的定义:“能够确定一个点在空间的位置的一个或一组数，叫做这个点的坐标”。所以我也认为第二个同学是对的。

3 水落石出

教师:同学们说得非常好，真理越辩越明。请同学们重新审题:求→在基底下的坐标。发现什么问题?(学生思索中…，突然一学生叫喊起来)

学生9:哦，我明白了!我们之前将基向量下的坐标与直角坐标系下的坐标混淆了。

教师:非常好，谁能告诉我这两者有什么区别与联系?

学生10:区别是:基向量下的坐标对基向量只要求不共线或不共面，而直角坐标系下的坐标必须要求基向量是单位正交基底。

学生11:联系是:只有当基向量与坐标轴同向且是单位向量时，基向量下的坐标才等于直角坐标系下的坐标。

教师:很好，讨论到现在我们可以肯定，上一节第二位同学的解答是对的。第一位同学错在将求基向量下的坐标当成求直角坐标系下的坐标。

4 拓展练习

教师:通过今天学习，让我们明确了:空间的一个“坐标系”可以由一个定点，三个不共面的向量，以及数乘向量和向量加法这两个运算给出。在这样的“坐标系”中，几何元素及其关系不但可以得到定性刻画，而且还能定量地表示。另外，我们可以根据面临问题的具体条件，根据解决问题的需要(自由地)选择“坐标系”，并且还可以在同一个平面上选择多个“坐标系”［2］。

同时还应了解:空间点的坐标除了可以用距离来确定外，还可以用距离与角来确定。如今后将学习的极坐标、柱坐标和球坐标等。

5 教学启示

如何有效讲评数学作业呢?其实孔子在《论语·述而》中早已告诉我们:“不愤不启，不悱不发，举一隅，不以三隅反，则不复也。”“愤”就是学生对某一问题正在积极思考，急于解决而又尚未搞通时的矛盾心理状态。这时教师应对学生思考问题的方法适时给以指导，以帮助学生开启思路，这就是“启”。“悱”是学生对某一问题已经有一段时间的思考，但尚未考虑成熟，处于想说又难以表达的另一种矛盾心理状态。这时教师应帮助学生明确思路，弄清事物的本质属性，然后用比较准确的语言表达出来，这就是“发”。“举一隅，不以三隅反，则不复也。”举出一个角为例来告诉学习的人，而他不能推断其他三个角如何，就不用再教他了。因为他不用心思考。

数学作业讲评是课堂教学的有机组成部分，是师生交流的平台。通过数学作业讲评，交流学生的学习成果，把学生作业中出现的想法、创见、存在的错误作为教学的资源，为矫正学生自己的学习缺陷服务，巩固、充实、完善和强化数学知识技能，促使知识再整理、再综合、再运用;学生通过自查错误，能培养自主学习能力，促进主体的自我发展;学生在辨析纠错的过程中，能以数学概念定理为依据，修补认知上的缺陷，形成正确的认知;通过讲评活动，提炼学生的思想方法及个性想法，使学生对所学知识融会贯通，培养学生的数学思维能力［3］。

［1］课程标教材研究所.数学选修2－1［M］.北京:人民教育出版社2010，10.

［2］课程标教材研究所.数学必修4教师教学用书［M］.北京:人民教育出版社，2010.

［3］任升录，等.数学作业的设计与评价［M］.上海:人民教育出版社，2009.

［4］Paul R Burden，David M Byrd.Methods for Effective Teaching:Meeting the Needs of All Students［M］.Beijing:Pearson Education(Beijing)office，2008.

［5］Clarke D J，Keitel C，Shimizu Y.Mathematics Classrooms in Twelve Countries:The Insider’s Perspective［M］.Rotterdam:Sense Publishers，2006.