基于蒙特卡罗方法的边界检测不确定度估计

陈杰春，张恒，赵丽萍

(1.东北电力大学自动化工程学院，吉林吉林132012;2.东北电力大学理学院，吉林吉林132012)

边界特征是数字图像中的重要特征，通常是指图像局部亮度变化最显著的部分。边界特征主要存在于目标与目标或者目标与背景之间，是实现图像分割、形状特征提取和几何尺寸测量等功能的基础，因此边界特征检测算法是机器视觉领域中最活跃的课题之一。从某种意义上讲，边界特征检测也是一种测量过程，因为其测量对象为边界特征、测量结果为边界特征在图像中的坐标。众所周知，在多次重复测量中，可以看到测量结果将在某一范围内波动，这一现象体现了测量结果取值的不确定性。为了评价测量结果的不确定性，人们引入了不确定度的概念。不确定度是一个合理表征测量结果分散性的参数，它是一个容易定量、便于操作的质量指标。测量结果是否有用，在很大程度上取决于其不确定度的大小，所以测量结果必须有不确定度说明时才是完整和有意义的［1］。

文献［1］和［2］共给出4种评定被测量不确定度的方法，这4种方法分别是A类评定方法、B类评定方法、标准不确定度合成法以及基于蒙特卡罗方法的不确定度评定方法。根据这4种方法的原理和特点可知，前3种方法不适于评定边界检测结果的不确定度。例如，如果使用A类评定方法估计边界检测结果的不确定度，首先需要使用摄像机连续拍摄静态场景并得到多帧图像，然后再分别提取每帧图像内同一边界特征的图像坐标，在此基础上，可统计出边界检测结果的标准不确定度。使用A类评定方法的前提是场景在图像采集过程中要保持稳定，然而在实际的应用中，这一要求往往难以满足。

文中提出一种基于蒙特卡罗方法的边界检测不确定度估计方法，其中假定那些参与边界特征检测的像素的强度服从正态分布，其概率密度函数中的协方差矩阵由统计实验确定，而像素强度的标准不确定度则由像素强度的不确定度估计值近似代替。文中给出一种估计像素强度不确定度的方法，其中建立了一个像素强度不确定度数学模型，该数学模型将像素强度不确定度与像素强度和图像梯度建立起联系，由此可根据像素强度和图像梯度估计像素强度的不确定度。

1 像素强度不确定度的估计

假设使用摄像机连续拍摄静态场景并得到多帧数字图像，通过观察不难发现，这些图像中同一位置的像素强度并不相同，而是在一定范围内上下波动。这一现象表明，用摄像机所拍摄的任意一帧图像中的每一个像素的强度都是不确定的。导致像素强度具有不确定性的直接因素较多，比如光电转换噪声、A/D转换噪声和环境因素等［3］。使用这些直接因素构建像素强度不确定度数学模型是很困难的，因为很难用一个数学公式体现出所有的直接因素对像素强度不确定度的影响。

意大利萨勒诺大学的Santo和Anchini等人建立了一个像素强度不确定度数学模型，该数学模型将像素强度不确定度与图像梯度和像素强度建立起联系［4－7］。在此基础上，文献［8］构建了一个更加完善的像素强度不确定度数学模型，可表示为

在使用式(1)估计像素强度不确定度之前，首先要确定参数kD、kC、kB、kA和的数值，这一过程也被称为像素强度不确定度数学模型的标定过程。在外界条件相对稳定的情况下，使用摄像机连续拍摄一个静态场景并得到多帧图像，分别统计图像中每个像素的强度平均值(i，j)和标准不确定度uI(i，j)，然后用(i，j)和uI(i，j)近似代替式(1)中的I(i，j)和(i，j)，可构建如下形式的超定线性方程组:

式中:R为图像的行数;C为图像的列数。

利用最小二乘法求解式(2)，可得未知参数kD、kC、kB、kA和的数值。在此基础上，任意给定一帧测量图像，由式(1)可估计出图像中任一像素的强度不确定度。

2 边界检测不确定度的估计

蒙特卡罗方法是一种以概率统计理论为基础的数值计算方法，其基本思想是:当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的数字特征时，通过某种“实验”的方法，估计这一随机事件出现的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。蒙特卡罗方法也可用于评定被测量数值的不确定度，只不过该方法只能用于评定由间接测量方法得到的被测量数值的不确定度。

如图1所示，被测量的数值Y不是直接测量的，而是由变量X1、X2和X3的数值计算得到的。若使用蒙特卡罗方法估计被测量数值的不确定度，需按照以下步骤进行:

(1)根据经验或统计实验结果，为输入变量X1、X2和X3指定概率密度函数。若这些变量互相独立，为它们分别指定概率密度函数，否则为它们指定联合概率密度函数。

(2)使用适当的随机数发生器，对输入变量随机抽样。

(3)由描述测量过程的数学模型公式，计算输出变量(被测量)Y的数值。

(4)重复N次步骤(2)和(3)，得到输出变量序列，最后由输出变量序列统计被测量的数学期望和标准不确定度。实验结果表明，变量N的数值越大，统计结果越可靠。

图1 蒙特卡罗方法原理示意图

边界特征检测过程也属于间接测量过程，因为其被测量(边界特征在图像中的坐标)不是直接测量的，而是由那些与边界特征相关联的像素的强度计算得到的。如前所述，若使用蒙特卡罗方法评定边界检测结果的不确定度，首先要为那些参与边界特征检测的像素的强度指定概率密度函数。通过实验不难发现，图像中不同像素的强度是相互关联的随机变量，因此需要为那些参与边界特征检测的像素的强度指定联合概率密度函数。令参与边界特征检测的像素的强度服从正态分布，则其联合概率密度函数可表示为

式中:X=［X1，X2，…，Xn］T，Xi(i=1，2，…，n)为参与边界特征检测的像素的强度;X为向量X的数学期望;M为随机向量X的协方差矩阵，M=(mij)n×n，mij=ρij(Xi)(Xj)，ρij为随机变量Xi与Xj之间的相关系数，其数值由统计实验确定(Xi)和(Xj)分别表示随机变量Xi和Xj的不确定度估计值，其数值由文中第1节中给出的方法确定;M表示矩阵M的行列式。

接下来还要解决一个关键的问题，即如何根据联合概率密度函数生成随机向量X。文献［9］给出一种方法:首先生成一个由独立同分布而且服从标准正态分布的随机变量构成的n维向量Z，然后由下式生成随机向量X:

3 实验结果

如图2所示，打印实验所需的图案，并将其粘贴在表面平整的图板上。用照度可调的白炽灯作光源，通过调整光源的照度，可人为改变边界检测结果的不确定度。使用Wat－308A工业CCD摄像机拍摄图板上的图案，同时通过外置USB图像采集盒连续采集图像，采集的图像存储在计算机中，用于后期的分析和处理。

打印如图3所示的图案，并将其粘贴在图板上。用摄像机连续拍摄300帧图像，统计图像中第263行像素(图3中虚线所示位置)的强度不确定度，然后从图像序列中任取一帧图像，使用文中给出的方法估计图像中第263行像素的强度标准不确定度。实验结果如图4所示，其中uI(i，263)(i=0，2，…，637)表示像素(i，263)的强度标准不确定度;(i，263)表示像素(i，263)的强度不确定度估计值;ΔuI(i，263)=uI(i，263)－(i，263)。由实验结果可以看出，像素强度不确定度的估计值与统计值非常接近，二者的偏差小于0.5像素。

图2 实验设备

图3 实验图像

用LoG边界检测算子提取每帧图像内边界A和边界B(如图3所标注)的图像坐标，并分别统计其检测不确定度，然后从图像序列中任取一帧图像，用文中给出的方法分别估计边界A和边界B的检测不确定度。表1给出了一组实验结果，其中u(i0)表示边界检测不确定度的统计实验结果(i0)表示边界检测不确定度的估计结果，从试验结果可以看出，边界检测不确定度估计结果与统计实验结果很接近。

表1 角点检测不确定度评定方法验证结果

图4 像素强度不确定度评定方法验证结果

4 结论

文中探讨了基于蒙特卡罗方法的边界检测不确定度评定方法。首先给出一种估计像素强度不确定度的方法，使用该方法，只需一帧测量图像就可以估计出图像中任意一个像素的强度不确定度。在此基础上，给出了利用蒙特卡罗方法估计边界特征检测不确定度的方法。该方法的意义在于，只要通过统计实验确定了像素强度不确定度数学模型中的未知参数，以及参与边界检测的各像素之间的强度相关系数，由一帧测量图像就能够估计出边界检测结果的不确定度，不需要采集大量的图像。

［1］JCGM100:2008，Evaluation of measurement data-Guide to the expression of uncertainty in measurement［S］.

［2］JCGM 101:2008，Evaluation of measurement data-Supplement 1 to the"Guide to the expression of uncertainty in measurement"-Propagation of distributions using a Monte Carlo method［S］.

［3］Tian H，Fowler B，El Gamal A.Analysis of temporal noise in CMOS photodiode active pixel sensor［J］.IEEE Journal of Solid-State Circuits，2001，36(1):92－101.

［4］De Santo M，Liguori C，Paolillo A，et al.Standard uncertainty evaluation in image-based measurements［J］.Measurement:Journal of the International Measurement Confederation，2004，36(314):347－358.

［5］Matt Steele R，Jaynes C.Feature uncertainty arising from covariant image noise.2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition，San Diego，United states，June 20－25，2005［C］.Piscataway，United States:IEEE Computer Society，2005:1063－1070.

［6］De Santo M，Liguori C，Pietrosanto A.Uncertainty characterization in image-based measurements:a preliminary discussion［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2000，49(5):1101－1107.

［7］De Santo M，Liguori C，Pietrosanto A.Uncertainty in image based measurements:A step towards model characterization.17th IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference，Baltimore，United States，May 1－4，2000［C］.Piscataway，United States:IEEE，2000:365－369.

［8］陈杰春，丁振良，袁峰.质心检测不确定度的估计方法［J］.光学学报，2008，28(7):1318－1322.

［9］JamesE.Gentle，Random Number Generation and Monte Carlo Methods(Statistics and Computing)［M］.2nd edition，Springer，2003.